Svar:
# a_n = P_n ^ (d + 2) = a ^ 2 + b ^ n + c #
med # A = d / 2; b = (2-d) / 2; c = 0 #
# P_n ^ (d + 2) # er en polygonal serie af rang, # r = d + 2 #
eksempel givet en aritmetisk sekvens overspring tæller med # D = 3 #
du vil have en #COLOR (rød) (femkantet) # sekvens:
# P_n ^ farve (rød) 5 = 3 / 2n ^ 2-1 / 2n # giver # P_n ^ 5 = {1, farve (rød) 5, 12, 22,35,51, cdots} #
Forklaring:
En polygonal sekvens er konstrueret ved at tage # N'te # summen af en aritmetisk sekvens. I beregning ville dette være en integration.
Så nøglehypotesen er her:
Da den aritmetiske sekvens er lineær (tænk lineær ligning), vil integration af den lineære sekvens resultere i en polynom sekvens af grad 2.
Nu for at vise dette tilfældet
Start med en naturlig sekvens (spring tæller ved at starte med 1)
#a_n = {1, 2,3,4, cdots, n} #
find nth summen af #S_n = sum_i ^ (i = n) a_n #
# S_1 = 1; S_2 = 3, S_3 = 6, cdots #
#S_n = (a_1 + a_n) / 2 n; #
# A_n # er aritmetisk sekvens med
# a_n = a_1 + d (n-1); a_1 = 1; d = 1 #
#S_n = (1 + a_n) / 2 n = (1 + 1 + (n-1)) / 2n = n (n + 1) / 2 #
#S_n = P_n ^ 3 = {1, 3, 6, 10, cdots, (1 / 2n ^ 2 + 1 / 2n)} #
Så med d = 1 er sekvensen af formen # P_n ^ 3 = a ^ 2 + bn + c #
med #a = 1/2; b = 1/2; c = 0 #
Fremhæv nu for en vilkårlig hoppetæller #COLOR (rød) d #, #farve (rød) d i farve (blå) ZZ # og # a_1 = 1 #:
# P_n ^ (d + 2) = S_n = (a_1 + a_1 + farve (rød) d (n-1)) / 2 n #
# P_n ^ (d + 2) = (2 + farve (rød) d (n-1)) / 2 n #
# P_n ^ (d + 2) = farve (rød) d / 2n ^ 2 + (2-farve (rød) d) n / 2 #
Hvilket er en generel form # P_n ^ (d + 2) = a ^ 2 + bn + c #
med # A = farve (rød) d / 2; b = (2-farve (rød) d) / 2; c = 0 #
