Hvad er derivatet af arcsin (1 / x)?

Svar:

# -1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

Forklaring:

For at differentiere dette vil vi anvende en kæde regel:

Begynd ved at lade # Theta = arcsin (1 / x) #

# => Sin (theta) = 1 / x #

Differentier nu hvert udtryk på begge sider af ligningen med respekt for #x#

# => Cos (theta) * (d (theta)) / (dx) = - 1 / x ^ 2 #

Brug af identiteten: # cos ^ 2theta + sin ^ 2theta = 1 => costheta = sqrt (1-sin ^ 2theta) #

# => Sqrt (1-sin ^ 2-theta) * (d (theta)) / (dx) = - 1 / x ^ 2 #

# => (D (theta)) / (dx) = - 1 / x ^ 2 * 1 / sqrt (1-sin ^ 2-theta) #

Husk: #sin (theta) = 1 / x "" # og # "" theta = arcsin (1 / x) #

Så vi kan skrive, # (D (arcsin (1 / x))) / (dx) = - 1 / x ^ 2 * 1 / sqrt (1- (1 / x) ^ 2) = - 1 / x ^ 2 * 1 / sqrt ((x ^ 2-1) / x ^ 2) #

# = - 1 / x ^ 2 * x / sqrt (x ^ 2-1) = farve (blå) (- 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)))) "eller" -sqrt (x ^ 2-1) / (x (x ^ 2-1)) #