Hvad er en bølgefunktion, og hvad er kravene til at være velopdragen, dvs. for at den skal repræsentere den fysiske virkelighed korrekt?

Svar:

Bølgefunktionen er en kompleks værdifunktion, hvoraf amplituden (absolutværdien) giver sandsynlighedsfordelingen. Men det opfører sig ikke på samme måde som en almindelig bølge.

Forklaring:

I kvantemekanik taler vi om systemets tilstand. Et af de enkleste eksempler er en partikel, der kan være i et op eller ned-spin, for eksempel en elektron. Når vi måler spidsen af et system, måler vi enten op eller ned. En tilstand, hvor vi er sikre på resultatet af målingen, kalder vi en egenstate (one up state # Uarr # og en ned tilstand # Darr #).

Der er også stater hvor vi er usikre på resultatet af måling, før vi måler det. Disse stater kalder vi en superposition, og vi kan skrive dem ned som # En * uarr + b * Darr #. Her har vi # | En | ^ 2 # sandsynligheden for at måle # Uarr #, og # | B | ^ 2 # sandsynligheden for at måle # Darr #. Det betyder selvfølgelig, at # | En | ^ 2 + | b | ^ 2 = 1 #. Vi tillader det # A, b # at være komplekse tal, er årsagen til dette ikke umiddelbart klart fra dette eksempel, men i forbindelse med bølgefunktionen bliver det mere tydeligt. Den nederste linie er, at der er flere stater end en, der giver de samme sandsynligheder for at måle spins.

Nu kunne vi forsøge at tildele en funktion til denne spin state. Da der kun er to resultater af måling af spin, har vi en funktion, der kun har to mulige input. Hvis vi kalder funktionen # Psi # (dette er et meget konventionelt symbol, der bruges til en wavefuntion), sætter vi #psi (uarr) = a # og #psi (darr) = B #.

Nu vender vi til bølgefunktionen. Et aspekt af en partikel er selvfølgelig dens placering. Ligesom i tilfældet med spin kan vi måle forskellige værdier for lokationen, og vi kan have lande, hvor resultatet af målingen ikke er fastgjort på forhånd. Da vi har en ubestridelig uendelig mængde steder, hvor en partikel kan være, skal du skrive denne tilstand som # En * "her" + b * "der" # vil ikke gøre. Men ideen om den funktion, som vi har brugt ovenfor gør det. Så for enhver placering #x#, vi har en kompleks værdi #psi (x) #. Sandsynlighedsdensitetsfunktionen af partiklen er nu givet af # | Psi (x) | ^ 2 #.

I alle retfærdighed er historien ideen om bølgefunktionen ældre end spinens, men jeg tror, at forståelsen af spin til en vis grad hjælper med forståelsen af bølgefunktionen.

Først og fremmest, hvorfor er bølgefunktionen kompleks værdsat? Den første grund kan ses i tanken om indblanding. Bølgefunktionen af en partikel kan forstyrre sig selv. Denne indblanding har at gøre med at tilføje vågfunktioner, hvis bølgefunktionerne giver den samme absolutte værdi på et bestemt tidspunkt, så er sandsynligheden for at måle en partikel omkring dette punkt ens. Funktionsværdierne kan dog være forskellige, hvis de er de samme, tilføjer dem amplitude eller sandsynlighedstæthed 4 (#|2|^2#) gange større (konstruktiv interferens), og hvis de adskiller sig med et tegn, negerer de hinanden (destruktive interferenser). Men kanen kan også afvige med for eksempel en faktor #jeg#, hvilket betyder at sandsynlighedstætheden bliver #2# gange større på det tidspunkt. Vi ved, at alle disse forstyrrelser kan forekomme. Så det peger på en kompleks værdsat bølgefunktion som beskrevet tidligere.

Den anden grund kan findes i Schrödinger ligningen. I starten blev det antaget, at disse bølgefunktioner opførte sig ligesom klassiske bølger. Men da Schrödinger forsøgte at beskrive disse bølgers adfærd, eller i det mindste deres udvikling gennem tiden, fandt han, at ligningen om klassiske bølger ikke var tilstrækkelig. For at det kunne fungere, måtte han introducere et komplekst tal i ligningen, hvilket fører til den konklusion, at selve funktionen også skal være kompleks, og rækkefølgen af de derivater, der fremgår af ligningen, afviger fra den klassiske bølgekvation.

Denne forskel i ligningerne svarer også til dit andet spørgsmål. Da udviklingen af bølgefunktionen adskiller sig meget fra klassiske bølger, kan vi ikke anvende de samme metoder, som vi bruger i klassisk bølgefysik. Der er selvfølgelig geometriske argumenter, du kan bruge, men det vil ikke være nok til at beskrive alle fænomenerne i kvantefysik. Derudover, selvom bølgefunktionen giver en masse information om tilstanden til en partikel, fortæller den intet om dens spin, da observeringen spin og placering har lidt at gøre med hinanden.

Måske fortolker jeg, hvad du mener med en geometrisk karakter forkert. Kan du måske give et eksempel på hvad du mener. Måske kunne jeg hjælpe dig yderligere.

Det bølgefunktion repræsenterer tilstanden af et kvantemekanisk system, såsom et atom eller et molekyle.

Det kan også repræsenteres # Psi #, det tidsuafhængig bølgefunktion, eller # Psi #, det tidsafhængig bølgefunktion.

Fordi bølge funktion repræsenterer åbenbart et system, der opfører sig som a bølge (det er ikke tilfældigt, at det hedder bølge funktion!), ville vi normalt forvente en ubegrænset bølgefunktion at have ingen grænser. Overvej det faktum, at # Sinx # og # Cosx #, to funktioner, der klart er bølger, har domæner af # (- oo, oo) #.

EKSEMPEL: WAVE FUNKTIONEN FOR ORBITALER

Men lad os tage orbitaler for eksempel. Der skal være et sæt af randbetingelser for et orbital, fordi naturligvis orbitaler ikke er uendeligt store.

En bølgefunktion kan skildre lineær kombination af atomorbitaler at danne molekylære orbitaler:

#color (blå) (psi _ ("MO")) = sum_ (i) c_iphi_i ^ "AO" #

# = farve (blå) (c_1phi_ (1s) + c_2phi_ (2s) + c_3phi_ (2px) + c_4phi_ (2py) + c_5phi_ (2pz) +..)

hvor # C_i # er ekspansionskoefficient der angiver bidraget fra hvert atomomrør til det pågældende molekylære kredsløb, og # Phi_i ^ "AO" # er eksperimentelle / prøvebølgefunktion for hvert atomomløbet.

Da en bølgefunktion skal kunne repræsentere et kredsløb, skal det have en positiv radius (#r> 0 #) og bølgefunktionen skal være enkelt -valued, lukket , sammenhængende , retvinklede til alle relaterede bølgefunktioner, og normalizable .

Med andre ord skal den passere den lodrette linjetest, have et begrænset område under kurven, har ingen spring / diskontinuiteter / asymptoter / pauser og tilfredsstille følgende to ligninger:

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Bd tau = 0 #

(integreret af en bølgefunktion og dens komplekse konjugat er #0# hvis bølgefunktionerne er forskellige)

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Ad tau = 1 #

(integralet af en bølgefunktion og dets komplekse konjugat normaliseres således, at det svarer til #1# hvis bølgefunktionerne er de samme ud over tegn på # PMI #)

Et eksempel ligning for bølgefunktionen i sfæriske koordinater for hydrogenatomet er:

#color (blå) (psi_ (2pz) (r, theta, phi)) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (theta, phi)

# = farve (blå) (1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ ("3/2") ((Zr) / (a_0)) e ^ (- Zr // 2a_0) costheta) #

At tænke, jeg faktisk brugt tid til at normalisere dette. Jeg tog endda tid til at tjekke for ortogonalitet med de to andre # 2p # bølgefunktioner.: P

Bare i tilfælde af, her er et tillæg til det, jeg har linket ovenfor i Scratchpads.

#' '#

Normalisering af

Det # 2p_z # Atom-orbitalbølgefunktion er:

#psi_ (2PZ) #

(T), (phi) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (theta, phi)

(Zr) / (2a_0)) costtea # (1 / sqrt)

(McQuarrie)

Er # 2p_z # bølgefunktion virkelig normaliseret? LAD OS FINDE UD AF DET!

(r) r_ (nl) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (r) theta, phi) sintheta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (a) (=) 1)

# 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (5/2) ^ 2 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r4dr int_) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thetad theta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (a) (=) 1 #

#color (grøn) (1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r4dr stackrel (= "2/3") (overbrace (int_ (0) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thetad theta)) stackrel (= 2pi) (overbrace (int_ (0) ^ (2pi) dphi)

Nu undersøger kun den radiale del, som er den skøre del … lad quadruple Integration by Parts starte!

EVALUERING AF RADIAL COMPONENTEN AF WAVE FUNCTIONEN

Del 1

#int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r4dr #

Lade:

#u = r ^ 4 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 4r ^ 3dr #

(a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4int e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3dr}

Del 2

Lade:

#u = r ^ 3 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 3r ^ 2dr #

# - - (a_0) / Z {e ^ (- Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r3-3-3int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r2dr} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r3-3-3int (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

Del 3

Lade:

#u = r ^ 2 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 2rdr #

(= (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) R3-3-3 - (a_0) / Ze ^ (- Zr) / (a_0)) r2-2int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr}

(a) (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r2-2intint ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr}

Del 4

Lade:

#u = r #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = dr #

(a) (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) (Zr) / (a_0)) r-2 - 2 (- (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r-int - (a_0) / Ze ^ (Zr) / (a_0)) dr}} #

(a) (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r2 2 + (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r-int e (- (Zr) / (a_0)) dr}} #

EXPANSION / FORENKLING

(a_0) / Z ^ ^ - (Zr) / (a_0)) r ^ 4-4 ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (2a0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r4 - ((a_0) / Z) ^ 2e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3-12 (a_0) / Z) ^ 3 e ^ (- Zr) / (a_0)) r2-2 (2a0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r4 - ((a_0) / Z) ^ 2e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3-12 (a_0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) r2-24 ((a_0) / Z) ^ 4 {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r +) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# - - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r4 - ((a_0) / Z) ^ 2e ^ - (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - (a-0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) 12r ^ 2 - ((a_0) / Z) ^ 4e ^ (- (Zr) / (a_0)) 24r - 24 ((a_0) / Z) ^ 5 e ^ (- (Zr) / (a_0)) #

EVALUERING-KLAR FORM

(a_0) / Zr ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2r ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 r ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4r + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 _ (0) ^ (oo) #

Første halvdel afbryder at være #0#:

# = Annuller ({- e ^ (- (Zoo) / (a_0)) (a_0) / Z oo ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 oo ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3o ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4o + 24 ((a_0) / Z) ^ 5}) ^ (0) - {-e ^ (- (Z (0)) / a)) (a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 2 (0) ^ 3 + 12 a_0) / Z) ^ 4 (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5} #

Anden halvdel forenkler ned at være # 1 * (0 + 0 + 0 + 0 + 24 ((a_0) / (Z)) ^ 5) #:

# = Annuller (e ^ (- (Z (0)) / (a_0))) ^ (1) Annuller ((a_0) / Z (0) ^ 4) ^ (0) + Annuller (4 ((a_0) / Z) ^ 2 (0) ^ 3) ^ (0) + annullere (12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2) ^ (0) + annullere (24 ((a_0) / Z) ^ 4 (0)) ^ (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #

# = 24 (a_0 / Z) ^ 5 #

Lad os nu undersøge bølgefunktionen som helhed …

#psi_ (2PZ) #

1 = (32pi) (Z / a_0) ^ 5 (24 (a_0 / Z) ^ 5) (2/3) (2pi) stackrel (a) (=) 1 #

# = 1 / (Annuller (32) Annuller (pi)) Annuller ((Z / A_0) ^ 5) (Annuller (16) Afbestill ((a_0 / Z) ^ 5)) (Afbestill (2) Afbestill (pi)) stackrel (?) (=) 1 #

#farve (blå) (1 = 1) #

JA! ÉN ER LIGE ÉN! Jeg mener…

Bølgefunktionen er faktisk normaliseret!: D

Bevis for gensidig ortogonalitet for 2p-bølgefunktionerne

Lad os vælge følgende bølgefunktioner:

(Zr / "2a_0) sinthetacosphi # (2px) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z /

(Zr / 2a_0) sinthetasinphi (2py) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2"

(Zr / "2a_0) costtea # (2pz) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^" 3/2 "(Zr) / (a_0)

For at vise at de er ortogonale, skal vi vise mindst en af dem:

#int _ ("alt rum") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

Og fra induktion kan vi betyde resten, da de radiale komponenter er identiske. Med andre ord:

(r) R_ (nl, 2pz) (r) r2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (theta) sintheta int_ (0) ^ (2pi) Y_ (l) ^ (m) (phi) dphi stackrel (a) (=) 0)

#color (grøn) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) r4dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi stackrel (a) (=) 0) #

Den radiale del viser sig at være # 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #. Så lad os evaluere de vinklede dele.

Det # Theta # del:

#color (grøn) (int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta) #

Lade:

#u = sintheta #

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 1/3 * | sin ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * sin ^ 3 (pi) - sin ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = farve (grøn) (0) #

Og nu # Phi # del:

#color (grøn) (int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = | sinphi | _ (0) ^ (2pi) #

# = synd (2pi) - synd (0) #

Lade:

#u = sintheta #

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 0 - 0 = farve (grøn) (0) #

Derfor har vi samlet:

#color (blå) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) r4dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi)

# = Annuller (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 (24) ((a_0) / Z) ^ 5 (0) (0)) ^ (0) #

# = farve (blå) (0) #

Siden

#int _ ("alt rum") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

det # 2p_z # og # 2p_x # Atomorbitaler er ortogonale.

Virkelig den største forskel med at bruge # 2p_y # ligning er, at du i stedet får:

#color (grøn) ("Konstanter" int_ (0) ^ (oo) "Samme ting" dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 3thetad theta int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi stackrel 0) #

Også:

#color (blå) (int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi) #

# = 1/2 | sin ^ 2phi | _ (0) ^ (2pi) #

# = 1/2 sin ^ 2 (2pi) - sin ^ 2 (0) = farve (blå) (0) #

Fra multiplicere #0# af de andre integraler, så hele integralet forsvinder og:

#int _ ("alt rum") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2py) d tau = 0 #

således # 2p_x # og # 2p_y # Atomorbitaler er ortogonale.

Endelig for # 2p_y # vs # 2p_z #:

#color (grøn) ("Konstanter" int_ (0) ^ (oo) "Samme ting" dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) sinphidphi stackrel 0) #

Vi kender # Theta # integreret fra før:

#color (blå) (int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta) #

# = 1/3 * | sin ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * sin ^ 3 (pi) - sin ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = farve (blå) (0) #

Og så forsvinder hele integralet igen, og faktisk # 2p_y # og # 2p_z # Orbitaler er også ortogonale!