Antal værdier for parameteren alpha i [0, 2pi] for hvilken den kvadratiske funktion, (sin alpha) x ^ 2 + 2 cos alpha x + 1/2 (cos alpha + sin alpha) er kvadratet af en lineær funktion er ? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 1

Svar:

Se nedenunder.

Forklaring:

Hvis vi ved, at udtrykket skal være kvadratet af en lineær form så

# (sin alpha) x ^ 2 + 2 cos alfa x + 1/2 (cos alfa + sin alfa) = (ax + b) ^ 2 #

så grupperer vi koefficienter

# (alfa ^ 2-sin (alfa)) x ^ 2 + (2ab-2cos alfa) x + b ^ 2-1 / 2 (sinalpha + cosalpha) = 0 #

så betingelsen er

# {(a ^ 2-sin (alfa) = 0), (ab-cos alfa = 0), (b ^ 2-1 / 2 (sinalpha + cosalpha) = 0):}

Dette kan løses ved først at opnå værdierne for # A, b # og erstatning.

Vi ved det # a ^ 2 + b ^ 2 = synd alfa + 1 / (sin alfa + cos alfa) # og

# a ^ 2b ^ 2 = cos ^ 2 alpha # Nu løses

# Z ^ 2- (a ^ 2 + b ^ 2) z + a ^ 2b ^ 2 = 0 #. Løsning og erstatning for # a ^ 2 = sinalpha # vi får

#a = b = pm 1 / root (4) (2), alfa = pi / 4 #

#a = pm sqrt (2) / rod (4) (5), b = pm 1 / (sqrt (2) rod (4) (5)), alpha = pi-tan ^ -1