Hvilke værdier er m for hvilke ligning x (x-1) (x-2) (x-3) = m har alle rødder reelle tal?

Svar:

#m le (5/4) ^ 2-1 #

Forklaring:

Vi har det # x (x - 1) (x - 2) (x - 3) - m = x ^ 4-6x ^ 3 + 11x ^ 2-6x-m #

Nu gør

# X ^ 4-6x ^ 3 + 11x ^ 2-6x-m = (x-a) ^ 4 + b (x-a) ^ 2 + c # og ligestillings koefficienter vi kommer til

# {(a ^ 4 + a ^ 2 b + c + m = 0), (4 a ^ 3 + 2 a b-6 = 0), (11-6 a ^ 2 - b = 0), (4a -6 = 0):} #

Løsning for # A, b, c # vi får

# A = 3/2, b = -5/2, c = 1/16 (9-16m) # eller

# X ^ 4-6x ^ 3 + 11x ^ 2-6x-m = (x-3/2) ^ 4-5 / 2 (x-3/2) ^ 2 + 1/16 (9-16m) = 0 #

Løsning af denne ligning for #x# vi får

#x = 1/2 (3 pm sqrt (5 pm 4sqrt (m + 1))) #

Disse rødder er ægte hvis # 5 pm 4sqrt (m + 1) ge 0 # eller

#m le (5/4) ^ 2-1 #