Lad os sige, at K og L er to forskellige underrums-reelle vektorrum V. Hvis givet dim (K) = dim (L) = 4, er det muligt at bestemme minimale dimensioner for V?

Svar:

5

Forklaring:

Lad de fire vektorer # K_1, k_2, k_3 # og # K_4 # danne grundlag for vektorrummet # K #. Siden # K # er et underrum af # V #, udgør disse fire vektorer et lineært uafhængigt sæt # V #. Siden # L # er et underrum af # V # forskellig fra # K #, der skal være mindst et element, siger # L_1 # i # L #, som ikke er i # K #, dvs. som ikke er en lineær kombination af # K_1, k_2, k_3 # og # K_4 #.

Så sæt # {K_1, k_2, k_3, k_4, L_1} # er et lineært uafhængigt sæt af vektorer i # V #. Dermed dimensioneringen af # V # er mindst 5!

Faktisk er det muligt for spændingen af # {K_1, k_2, k_3, k_4, L_1} # at være hele vektorrummet # V # - således at mindste antal basisvektorer skal være 5.

Ligesom et eksempel, lad # V # være # RR ^ 5 # og lad # K # og # V # består af vektorer af formularerne

# ((alpha), (beta), (gamma), (delta), (0)) # og # ((mu), (nu), (lambda), (0), (phi)) #

Det er let at se, at vektorerne

#((1),(0),(0),(0),(0))#,#((0),(1),(0),(0),(0))#,#((0),(0),(1),(0),(0))#og #((0),(0),(0),(0),(0))#

danne grundlag for # K #. Tilføj vektoren #((0),(0),(0),(0),(0))#, og du får grundlaget for hele vektorrummet,