Triangle A har et område på 9 og to sider af længder 6 og 9. Trekant B svarer til trekant A og har en side af længde 12. Hvad er de maksimale og mindste mulige områder af trekant B?

Svar:

Min # = frac {144 (13 -8 sqrt {2})} {41} ca. 5.922584784 … #

Max # = frac {144 (13 + 8 sqrt {2})} {41} ca. 85.39448839 … #

Forklaring:

Givet:

# Område _ { triangleA} = 9 #

Sidelængder af # triangleA # er # X, Y, Z #

# X = 6, Y = 9 #

Sidelængder af # triangleB # er # U, V, W #

#U = 12 #

# triangle A tekst {lignende} trekant B #

først løse for # Z #:

brug Herons formel: # A = sqrt {S (S-A) (S-B) (S-C) # hvor # S = frac {A + B + C} {2} #, sub i område 9 og sidelængder 6 og 9.

# S = frac {15 + z} {2} #

{ Frac {Z + 3} {2}) { frac {Z - 3} {2}) { frac {15 - z} { frac {15 + Z} {2} 2}) #

# 81 = frac {(225-Z ^ 2) (Z ^ 2 - 9)} {16} #

# 1296 = -Z ^ 4 + 234Z ^ 2-2025 #

# -Z ^ 4 + 234Z ^ 2-3321 = 0 #

Lade # u = Z ^ 2 #, # -u ^ 2 + 234u-3321 = 0 #

brug kvadratisk formel

# u = frac {-b pm sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} #

# u = 9 (13-8 sqrt {2}), u = 9 (8 sqrt {2} +13) #

# Z = sqrt {u} # Afvis de negative løsninger som # Z> 0 #

# Z = 3 sqrt {13-8 sqrt {2}}, Z = 3 sqrt {8 sqrt {2} +13} #

Dermed # Z ca. 3.895718613 # og # 14.79267983 # henholdsvis

# fordi trekant A tekst {lignende} trekant B, Område _ { trekant B} = k ^ 2 * Område _ { triangleA} # hvor # K # er størrelsesfaktoren

# k = 12 / s # hvor arrangeret i stigende rækkefølge: {ss

eller i decimaltype: #s in {3.895718613, 6, 9,14.79267983} #

Jo større værdien af # S #, jo mindre området og jo mindre er værdien af # S #, jo større området,

For at minimere område vælger du # s = 3 sqrt {13-8 sqrt {2}} #

og for at maksimere område vælger # s = 3 sqrt {8 sqrt {2} +13} #

Således minimumsareal # = 9 * frac {12} {3 sqrt {8 sqrt {2} +13}} ^ 2 #

# = frac {144 (13 -8 sqrt {2})} {41} ca. 5.922584784 … #

og det maksimale areal # = 9 * frac {12} {3 sqrt {13-8 sqrt {2}}} ^ 2 #

# = frac {144 (13 + 8 sqrt {2})} {41} ca. 85.39448839 … #