Svar:
#sqrt (ax ^ 2 + bx + c) = sqrt a "" x + sqrt c #, så længe #en# og # C # er ikke negative, og #b = + - 2sqrt (ac) #.
Forklaring:
Hvis # Ax ^ 2 + bx + c # er et perfekt firkant, så er dets kvadratrod # Px + q # for nogle # P # og # Q # (med hensyn til #a, b, c #).
# ax ^ 2 + bx + c = (px + q) ^ 2 #
#color (hvid) (ax ^ 2 + bx + c) = p ^ 2 "" x ^ 2 + 2pq "" x + q ^ 2 #
Så hvis vi får det #en#, # B #, og # C #, vi behøver # P # og # Q # så det
# P ^ 2 = en #, # 2pq = b #, og
# Q ^ 2 = c #.
Dermed,
#p = + - sqrt a #, #q = + - sqrt c #, og
# 2pq = b #.
Men vent, siden # p = + -sqrta # og #Q = + - sqrtc #det må være det # 2PQ # er lig med # + - 2sqrt (ac) # så godt, så # Ax ^ 2 + bx + c # vil kun være et perfekt firkant når #b = + - 2sqrt (ac) #. (Også for at have en kvadratrod, #en# og # C # må begge være #ge 0 #.)
Så,
#sqrt (ax ^ 2 + bx + c) = px + q #
#color (hvid) (sqrt (ax ^ 2 + bx + c)) = sqrt a "" x + sqrt c #,
hvis
#a> = 0 #, #c> = 0 #, og
#b = + - 2sqrt (ac) #.
