Lad vec (x) være en vektor, sådan at vec (x) = (-1, 1), "og lad" R (θ) = [(costheta, -sintheta), (sintheta, costheta)], der er Rotation Operatør. For theta = 3 / 4pi find vec (y) = R (theta) vec (x)? Lav en skitse, der viser x, y og θ?

Dette viser sig at være en rotation mod uret. Kan du gætte ved hvor mange grader?

Lade #T: RR ^ 2 | -> RR ^ 2 # være en lineær transformation, hvor

#T (vecx) = R (theta) vecx, #

#R (theta) = (costheta, -sintheta), (sintheta, costheta), #

#vecx = << -1,1 >>. #

Bemærk at denne transformation var repræsenteret som transformationsmatrix #R (theta) #.

Hvad det betyder er siden # R # er rotationsmatrixen som repræsenterer den roterende transformation, vi kan formere # R # ved # Vecx # for at opnå denne transformation.

# (costheta, -sintheta), (sintheta, costheta) xx << -1,1 >> #

Til en # MxxK # og # KxxN # matrix, resultatet er en #COLOR (grøn) (MxxN) # matrix, hvor # M # er række dimension og # N # er kolonne dimension. Det er:

y_ (21), y_ (22), …, y_ (2n)), (vdots, vdots, ddots, vdots), (y_ (m1), y_ (m2), …, y_ (mn))

R_ (1k)), (R_ (21), R_ (22), …, R_ (2k)), (vdots, vdots, ddots, vdots), (R_ (m1), R_ (m2), …, R_ (mk)) xx (x_ (11), x_ (12), … x_ (1n)), x_ (21), x_ (22), … x_ (2n)), (vdots, vdots, ddots, vdots), (x_ (k1), x_ (k2), …, x_ (kn)) #

Derfor for a # 2xx2 # matrix multipliceret med a # 1xx2 #, vi skal omsætte vektoren for at få en # 2xx1 # kolonne vektor, giver os et svar, der er a # Mathbf (2xx1) # kolonnevektor.

Multiplicere disse to giver:

# (Costheta, -sintheta), (sintheta, costheta) xx (- 1), (1) #

# = (-costheta - sintheta), (- sintheta + costheta) #

Dernæst kan vi tilslutte #theta = (3pi) / 4 # (som jeg antager er den korrekte vinkel) at få:

#farve (blå) (T (vecx) = R (theta) vecx) #

# = R (theta) (- 1), (1) #

# = (-cos ((3pi) / 4) - sin ((3pi) / 4)), (- sin ((3pi) / 4) + cos ((3pi) / 4))

# = (-cos135 ^ @ - sin135 ^ @), (- sin135 ^ @ + cos135 ^ @) #

# = (- (- sqrt2 / 2) - sqrt2 / 2), (- sqrt2 / 2 + (-sqrt2 / 2)) # #

# = farve (blå) ((0), (- sqrt2)) # #

Lad os nu grave dette for at se, hvordan dette ser ud. Jeg kan fortælle, at det er en mod uret rotationefter bestemmelse af den transformerede vektor.

Faktisk drejes mod uret af #135^@#.

Udfordring: Måske kan du overveje, hvad der sker, når matrixen er # (costheta, sintheta), (- sintheta, costheta) # i stedet. Tror du det vil være med uret?

Lad f (x) = (x + 2) / (x + 3). Find ligning (er) for tangentlinje (r), der passerer gennem et punkt (0,6)? Skitse løsningen?

Tangenter er 25x-9y + 54 = 0 og y = x + 6 Lad tangens hældning være m. Tangentets ligning er y-6 = mx eller y = mx + 6 Lad os nu se skæringspunktet for denne tangent og givet kurve y = (x + 2) / (x + 3). For dette sætter y = mx + 6 i dette får vi mx + 6 = (x + 2) / (x + 3) eller (mx + 6) (x + 3) = x + 2 dvs. mx ^ 2 + 3mx + 6x + 18 = x + 2 eller mx ^ 2 + (3m + 5) x + 16 = 0 Dette skal give to værdier af x dvs. to skæringspunkter, men tangent skærer kun kurven på et punkt. Således hvis y = mx + 6 er en tangent, bør vi kun have én rot for den kvadratiske ligning, hvi

Lad vinklen mellem to ikke-nul vektorer A (vektor) og B (vektor) være 120 (grader) og dens resulterende være C (vektor). Så hvilken af følgende er (er) korrekte?

Alternativ (b) bb A * bb B = abs bbA abs bbB cos (120 ^ o) = -1/2 abs bbA abs bbB bbC = bbA + bbB C ^ 2 = (bbA + bbB) * (bbA + bbB) = A ^ 2 + B ^ 2 + 2 bbA * bb B = A ^ 2 + B ^ 2 - abs bbA abs bbB qquad kvadrat abs (bbA - bbB) ^ 2 = (bbA - bbB) * (bbA - bbB) = A ^ 2 + B ^ 2 - 2bbA * bbB = A ^ 2 + B ^ 2 + abs bbA abs bbB qquad trekant abs (bbA - bbB) ^ 2 - C ^ 2 = trekant - kvadrat = 2 abs bbA abs bbB:. C ^ 2m abs (bbA - bbB) ^ 2, qquad bbA, bbB ne bb0:. abs bb C lt abs (bbA - bbB)

En ensartet rektangulær fælde dør med masse m = 4,0 kg er hængslet i den ene ende. Den holdes åben, hvilket gør en vinkel theta = 60 ^ @ til vandret med en kraftstørrelse F ved den åbne ende, der virker vinkelret på fælde døren. Find kraften på fælde døren?

Du har næsten det !! Se nedenunder. F = 9,81 "N" Fældedøren er 4 "kg" ensartet fordelt. Dens længde er l "m". Så er massens centrum ved l / 2. Dørets hældning er 60 °, hvilket betyder at massens komponent vinkelret på døren er: m _ {"perp"} = 4 sin30 ^ o = 4 xx 1/2 = 2 "kg" Dette virker i afstand l / 2 fra hængslet. Så du har et øjebliks forhold som dette: m _ {"perp"} xx g xx l / 2 = F xx l 2 xx 9,81 xx 1/2 = F eller farve (grøn) {F = 9.81 "N"}