Hvordan beviser du (1 - sin x) / (1 + sin x) = (sec x + tan x) ^ 2?

Svar:

Brug et par trig identiteter og forenkle. Se nedenunder.

Forklaring:

Jeg tror, at der er en fejl i spørgsmålet, men det er ikke så meget. For at det giver mening, bør spørgsmålet læses:

# (1-sinx) / (1 + sinx) = (secx-tanx) ^ 2 #

Uanset hvad vi begynder med dette udtryk:

# (1-sinx) / (1 + sinx) #

(Når der udvises trig-identiteter, er det generelt bedst at arbejde på den side, der har en brøkdel).

Lad os bruge et pænt trick kaldet konjugatmultiplikation, hvor vi multiplicerer fraktionen af nævneren konjugat:

# (1-sinx) / (1 + sinx) * (1-sinx) / (1-sinx) #

# = ((1-sinx) (1-sinx)) / ((1 + sinx) (1-sinx)) #

# = (1-sinx) ^ 2 / ((1 + sinx) (1-sinx)) #

Konjugatet af # A + b # er # A-b #, så konjugatet af # 1 + sinx # er # 1-sinx #; vi multiplicerer med # (1-sinx) / (1-sinx) # at afbalancere fraktionen.

Noter det # (1 + sinx) (1-sinx) # er faktisk en forskel på kvadrater, som har egenskaben:

# (A-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 #

Her ser vi det # A = 1 # og # B = sinx #, så:

# (1 + sinx) (1-sinx) = (1) ^ 2- (sinx) ^ 2 = 1-sin ^ 2x #

Fra den pythagoranske identitet # Synd ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, følger det heraf (efter fradrag # Synd ^ 2x # fra begge sider) # Cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x #.

Wow, vi gik fra # (1-sinx) / (1-sinx) # til # 1-sin ^ 2x # til # cos ^ 2x #! Nu ser vores problem ud:

# (1-sinx) ^ 2 / cos ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

Lad os udvide tælleren:

# (1-2sinx + sin ^ 2x) / cos ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

(Husk: # (A-b) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 #)

Nu bryder vi op fraktionerne:

# 1 / cos ^ 2X (2sinx) / cos ^ 2x + sin ^ 2x / cos ^ 2x #

# = Sec ^ 2x-2 * sinx / cosx * 1 / cosx + sin ^ 2x / cos ^ 2x #

# = Sec ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x #

Sådan forenkles at ? Nå, husk da jeg sagde "Husk: # (A-b) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 #'?

Det viser sig at # Sec ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x # er faktisk # (Secx-tanx) ^ 2 #. Hvis vi lader # A = secx # og # B = tanx #, vi kan se, at dette udtryk er:

#underbrace ((a) ^ 2) _secx-2 (a) (b) + underbrace ((b) ^ 2) _tanx #

Som jeg lige sagde svarer til # (A-b) ^ 2 #. Erstatte #en# med # Secx # og # B # med # Tanx # og du får:

# Sec ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

Og vi har afsluttet prood:

# (Secx-tanx) ^ 2 = (secx-tanx) ^ 2 #