Hvordan beviser du sek (x) + 1 + ((1-tan ^ 2 (x)) / (sec (x) -1)) = cos (x) / (1-cos (x))?

Svar:

Gør nogle konjugerede multiplikationer, benyt trig identiteter, og forenkle. Se nedenunder.

Forklaring:

Husk den pythagoranske identitet # Synd ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #. Opdel begge sider af # cos ^ 2x #:

# (Sin ^ 2x + cos ^ 2x) / cos ^ 2x = 1 / cos ^ 2x #

# -> tan ^ 2x + 1 = sek ^ 2x #

Vi vil gøre brug af denne vigtige identitet.

Lad os fokusere på dette udtryk:

# Secx + 1 #

Bemærk at dette svarer til # (Secx + 1) / 1 #. Multiplicér toppen og bunden ved # Secx-1 # (denne teknik er kendt som konjugatmultiplikation):

# (Secx + 1) / 1 * (secx-1) / (secx-1) #

# -> ((secx + 1) (secx-1)) / (secx-1) #

# -> (sec ^ 2x-1) / (secx-1) #

Fra # Tan ^ 2x + 1 = sek ^ 2x #vi ser det # Tan ^ 2x = sec ^ 2x-1 #. Derfor kan vi erstatte tælleren med # Tan ^ 2x #:

# (Tan ^ 2x) / (secx-1) #

Vores problem lyder nu:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx)

Vi har en fællesnævner, så vi kan tilføje fraktionerne på venstre side:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx)

# -> (tan ^ 2x + 1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Tangenterne annullerer:

# (Annullere (tan ^ 2x) + 1-annullere (tan ^ 2x)) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Forlader os med:

# 1 / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Siden # Secx = 1 / cosx #, vi kan omskrive dette som:

# 1 / (1 / cosx-1) = cosx / (1-cosx) #

Tilføjelse af fraktioner i nævneren ser vi:

# 1 / (1 / cosx-1) = cosx / (1-cosx) #

# -> 1 / (1 / cosx- (cosx) / (cosx)) = cosx / (1-cosx) #

# -> 1 / ((1-cosx) / cosx) = cosx / (1-cosx) #

Brug af ejendommen # 1 / (a / b) = b / a #, vi har:

# Cosx / (1-cosx) = cosx / (1-cosx) #

Og det afsluttes beviset.

# LHS = (secx + 1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) #

# = ((Secx + 1) (secx-1) + 1-tan ^ 2x) / (secx-1) #

# = (Sec ^ 2x-1 + 1-tan ^ 2x) / (secx-1) #

# = Cosx / cosx * ((sec ^ 2x-tan ^ 2x)) / ((secx-1)) #

#COLOR (rød) ("sætte", sec ^ 2x-tan ^ 2x = 1) #

# = Cosx / (cosxsecx-cosx) #

#COLOR (rød) ("lægge", cosxsecx = 1) #

# = Cosx / (1-cosx) = RHS #

Bevis / verificer identiteterne: (cos (-t)) / (sec (-t) + tan (-t)) = 1 + sint?

Se nedenunder. Husk at cos (-t) = cost, sec (-t) = sect, som cosinus og secant er lige funktioner. tan (-t) = - tant, som tangent er en ulige funktion. Således har vi cost / (sectant) = 1 + sint. Recall at tant = sint / cost, sect = 1 / cost cost / (1 / cost-sint / cost) = 1 + sint Subtrahere i nævneren. kost / (1-sint) / kost) = 1 + sint kost * kost / (1-sint) = 1 + sint cos ^ 2t / (1-sint) = 1 + sint Genkald identiteten sin ^ 2t + cos ^ 2t = 1. Denne identitet fortæller os også, at cos ^ 2t = 1-sin ^ 2t. Anvend identiteten. (1-sin ^ 2t) / (1-sint) = 1 + sint Brug af forskellen mellem kvadrater, (1-sin

Hvordan forenkler du (1 + cos y) / (1 + sec y)?

(1 + hyggeligt) / (1 + secy) = hyggeligt secy = 1 / hyggeligt, derfor har vi: (1 + hyggeligt) / (1 + secy) = (hyggeligt / hyggeligt) 1 / hyggeligt)) = hyggeligt ((1 + hyggeligt) / (1 + hyggeligt)) = hyggeligt

Hvordan udtrykker du cos theta - cos ^ 2 theta + sec theta med hensyn til syndet theta?

Sqrt (1-sin ^ 2 theta) - (1-sin ^ 2 theta) + 1 / sqrt (1-sin ^ 2 theta) forenkle det yderligere, hvis du har brug for. Ud fra de givne data: Hvordan udtrykker du cos theta-cos ^ 2 theta + sec theta med hensyn til syndet theta? Løsning: fra de grundlæggende trigonometriske identiteter Sin ^ 2 theta + Cos ^ 2 theta = 1 følger cos theta = sqrt (1-sin ^ 2 theta) cos ^ 2 theta = 1-sin ^ 2 theta også sec theta = 1 / cos theta derfor cos theta-cos ^ 2 theta + sec theta sqrt (1-sin ^ 2 theta) - (1-sin ^ 2 theta) + 1 / sqrt (1-sin ^ 2 theta) Gud velsigne ... Jeg håber forklaring er nyttig.