Svar:
#3#
Forklaring:
Lade
# x = sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … oo #
hvor vi begrænser vores løsning til at være positiv, da vi kun tager den positive kvadratrode dvs. #x> = 0 #. Squaring begge sider vi har
# X ^ 2 = 7 + sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … oo #
# => X ^ 2-7 = sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … oo #
Hvor denne gang begrænser vi venstre side til at være positive, da vi kun vil have den positive kvadratrode, dvs.
# X ^ 2-7> = 0 # #=># #x> = sqrt (7) ~ = 2.65 #
hvor vi har elimineret muligheden for #x <= - sqrt (7) # ved hjælp af vores første begrænsning.
Igen kvadrerer vi begge sider
# (X ^ 2-7) ^ 2 #=# 7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + …….. oo #
# (X ^ 2-7) ^ 2-7 = -sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + …….. oo #
Udtrykket i de gentagne firkantede rødder er det originale udtryk for #x#, derfor
# (X ^ 2-7) ^ 2-7 = -x #
eller
# (X ^ 2-7) ^ 2-7 + x = 0 #
Prøveløsninger af denne ligning er # x = -2 # og # X = + 3 # hvilket resulterer i følgende faktorisering
# (X + 2) (x-3) (x ^ 2 + x-7) = 0 #
Brug den kvadratiske formel på den tredje faktor # (X ^ 2 + x-7) = 0 # giver os to flere rødder:
# (- 1 + -sqrt (29)) / 2 ~ = 2,19 "og" -3,19 #
De fire rødder af polynomet er derfor #-3.19…, -2, 2.19…, # og #3#. Kun en af disse værdier opfylder vores begrænsning #x> = sqrt (7) ~ = 2.65 #, derfor
# X = 3 #
Svar:
Anden måde
Forklaring:
Jeg kan godt lide at diskutere en vanskelig måde at få en løsning på et overblik over problemet med gentagne firkantede rødder som følgende
# sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
hvor # r # tilhører følgende serier
#3,7,13,21,31…………#, hvis generelle betegnelse er givet af
# MA2-m + 1 # hvor # m epsilon N # og #m> 1 #
TRICK
Hvis 1 trækkes fra det givne nummer # MA2-m + 1 # det resulterende tal bliver # MA2-m # som er #m (m-1) # og som ikke er andet end produktet af to på hinanden følgende tal og større en af disse to vil være den unikke løsning af problemet.
når r = # MA2-m + 1 # faktoren af # MA2-m + 1-1 # = # (M-1) m # og m er svaret
når r = 3 er faktoren for (3-1) = 2 = 1,2 og 2 svaret
når r = 7 er faktoren for (7-1) = 6 = 2,3 og 3 svaret
og så videre…….
Forklaring
tager
# x = sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
Squaring begge sider
# x ^ 2 = r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
# x ^ 2- r = sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
Igen Squaring begge sider
# (x ^ 2- r) ^ 2 = r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
# (x ^ 2- r) ^ 2-r = -x #
# (x ^ 2-r) ^ 2-r + x = 0 #
sætter r = # MA2-m + 1 #
# (x ^ 2- (m ^ 2-m + 1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1) + x = 0 #
hvis vi sætter x = m i LHS i denne ligning bliver LHS
LHS =
# (m ^ 2- (m ^ 2-m + 1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1) + m #
# = (Annuller (m ^ 2) - Afbryd (m ^ 2) + m-1)) ^ 2- (m ^ 2 m + 1-m) #
# = (M-1)) ^ 2- (m-1) ^ 2 = 0 #
ligningen er opfyldt.
Derfor er m svaret
lad os sætte
# x = sqrt (7 + sqrt (7- sqrt (7 + sqrt (7-sqrt …. #
Det kan vi nemt se
#sqrt (7 + sqrt (7-x)) = x #
Så lad os løse ligningen:
# 7 + sqrt (7-x) = x ^ 2 #
#sqrt (7-x) = x ^ 2-7 #
# 7-x = (x ^ 2-7) ^ 2 = x ^ 4-14x ^ 2 + 49 #
# x ^ 4-14x ^ 2 + x + 42 = 0 #
Dette er ikke en triviel ligning, der skal løses. En af de andre personer, der besvarede spørgsmålet, henviste løsningen. 3. Hvis du prøver det, vil du se det er sandt.
