Hvordan integrerer du int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) ved anvendelse af partielle fraktioner?

Svar:

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = #

# 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) -2 / (x + 1) + C_o #

Forklaring:

Opsæt ligningen for at løse for variablerne A, B, C

(xx1) + (xx) (x + 1) ^ 2) dx = int (A / (x-1) + B / (x + 1) + C / 1) ^ 2) dx #

Lad os løse for A, B, C først

# (4x ^ 2 + 6x-2) / (x-1) (x + 1) ^ 2) = A / (x-1) + B / (x + 1) + C / (x + 1) 2 #

LCD # = (X-1) (x + 1) ^ 2 #

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (A (x + 1) ^ 2 + B (x ^ 2-1) + C (x-1)) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) #

Forenkle

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (A (x ^ 2 + 2x + 1) + B (x ^ 2-1) + C -1)) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) #

# (4x ^ 2 + 6x-2) / (x-1) (x + 1) ^ 2) = (Axe ^ 2 + 2Ax + A + Bx ^ 2-B + Cx-C) / ((x- 1) (x + 1) ^ 2) #

Omarrangere vilkårene på højre side

# (4x ^ 2 + 6x-2) / (x-1) (x + 1) ^ 2) = (Axe ^ 2 + Bx ^ 2 + 2Ax + Cx + ABC) / ((x-1) 1) ^ 2) #

lad os oprette ligningerne for at løse for A, B, C ved at matche de numeriske koefficienter for venstre og højre udtryk

# A + B = 4 "" #første ligning

# 2A + C = 6 "" #anden ligning

# A-B-C = -2 "" #tredje ligning

Samtidig opløsning ved anvendelse af anden og tredje ligning resulterer i

# 2A + A + C-C-B = 6-2 #

# 3A-B = 4 "" #fjerde ligning

Brug nu den første og fjerde ligning

# 3A-B = 4 "" #fjerde ligning

# 3 (4-B) -B = 4 "" #fjerde ligning

# 12-3B-B = 4 #

# -4b = 4-12 #

# -4b = -8 #

# B = 2 #

Løs for at bruge # 3A-B = 4 "" #fjerde ligning

# 3A-2 = 4 "" #fjerde ligning

# 3A = 4 + 2 #

# 3A = 6 #

# A = 2 #

Løs C ved hjælp af # 2A + C = 6 "" #anden ligning og # A = 2 # og # B = 2 #

# 2A + C = 6 "" #anden ligning

# 2 (2) + C = 6 #

# 4 + C = 6 #

# C = 6-4 #

# C = 2 #

Vi udfører nu vores integration

(xx1) + (xx) (x + 1) ^ 2) dx = int (2 / (x-1) + 2 / (x + 1) + 2 / 1) ^ 2) dx #

(xx1) + (x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (2 / (x-1) + 2 / (x + 1) + 2 * 1) ^ (- 2)) dx #

(x x 1) (x + 1) ^ 2) dx = 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) + (2 * (x + 1) ^ (- 2 + 1)) / (- 2 + 1) + C_o #

(x x 1) (x + 1) ^ 2) dx = 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) -2 / (x + 1) + C_o #

Gud velsigne ….. Jeg håber forklaringen er nyttig.