Svar:
Telescoping Series 1
Forklaring:
Dette er en sammenfaldende (telescoping) serie.
Dens første sigt er
Svar:
Se nedenunder.
Forklaring:
Dette svarer til
Vis at 1 + 1 / sqrt2 + cdots + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1), for n> 1?
Nedenfor For at vise, at uligheden er sand, bruger du matematisk induktion 1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1) til n> 1 Trin 1: Bevis sand til n = 2 LHS = 1 + 1 / sqrt2 RHS = sqrt2 (2-1) = sqrt2 Siden 1 + 1 / sqrt2> sqrt2, så LHS> RHS. Derfor er det sandt for n = 2 Trin 2: Antag sandt for n = k hvor k er et helt tal og k> 1 1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtk> = sqrt2 (k-1) --- (1) Trin 3: Når n = k + 1, RTP: 1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)> = sqrt2 sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) RHS = sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtk + 1 / sqrt )&
Sidelængder af en akut trekant er sqrtn, sqrt (n + 1) og sqrt (n + 2). Hvordan finder du n?
Hvis trekanten er en rigtig trekant, er kvadratet af den største side lig med summen af kvadraterne på mindre sider. Men trekanten er akut vinklet en. Så firkantet af den største side er mindre end summen af firkanterne på mindre sider. Således (sqrt (n + 2)) ^ 2 <(sqrtn) ^ 2 + (sqrt (n + 1)) ^ 2 => n + 2 <n + n + 1 => n> 1