Hvad er de asymptoter og aftagelige diskontinuiteter, hvis nogen, af f (x) = sqrt (x) / (e ^ x-1)?

Svar:

#F (x) # har en vandret asymptote # Y = 0 # og en lodret asymptote # X = 0 #

Forklaring:

Givet:

#f (x) = sqrt (x) / (e ^ x-1) #

• Tællerens domæne #sqrt (x) # er # 0, oo) #

• Nævnets domæne # e ^ x - 1 # er # (- oo, oo) #

• Nævneren er nul, når # e ^ x = 1 #, som for reelle værdier af #x# forekommer kun, når # X = 0 #

Dermed domænet for #F (x) # er # (0, oo) #

Brug af serieudvidelsen af # E ^ x #, vi har:

#f (x) = sqrt (x) / (e ^ x - 1) #

#color (hvid) (f (x)) = sqrt (x) / ((1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3/6 + …) - 1) #

#color (hvid) (f (x)) = sqrt (x) / (x + x ^ 2/2 + x ^ 3/6 + …) #

#color (hvid) (f (x)) = 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …) #

Så:

(x-> 0 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …)) #

#color (hvid) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x) (1 + 0 + 0 + …)) #

#color (hvid) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x)) #

#color (hvid) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = + oo #

og:

#lx (x-> oo) f (x) = lim_ (x-> oo) 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …)) = 0 #

Så #F (x) # har en lodret asymptote # X = 0 # og en vandret asymptote # Y = 0 #

graf {sqrt (x) / (e ^ x-1) -6,1, 13,9, -2,92, 7,08}