Hvad er den nye transformationsmetode til at løse kvadratiske ligninger?

Sig for eksempel du har …

# X ^ 2 + bx #

Dette kan omdannes til:

# (X + b / 2) ^ 2- (b / 2) ^ 2 #

Lad os finde ud af, om udtrykket ovenfor oversætter tilbage til # X ^ 2 + bx #…

# (X + b / 2) ^ 2- (b / 2) ^ 2 #

# = ({X + b / 2} + b / 2) ({x + b / 2} -b / 2) #

# = (X + 2 * b / 2) x #

# = x (x + b) #

# = X ^ 2 + bx #

Svaret er JA.

Nu er det vigtigt at bemærke det # X ^ 2-bx # (bemærk minustegnet) kan omdannes til:

# (X-b / 2) ^ 2- (b / 2) ^ 2 #

Hvad du laver her er fuldføre pladsen. Du kan løse mange kvadratiske problemer ved at udfylde firkanten.

Her er et primært eksempel på denne metode på arbejdspladsen:

# Ax ^ 2 + bx + c = 0 #

# Ax ^ 2 + bx = -c #

# 1 / a * (ax ^ 2 + bx) = 1 / a * -c #

# X ^ 2 + b / a * x = -c / en #

# (X + b / (2a)) ^ 2- (b / (2a)) ^ 2 = -c / en #

# (X + b / (2a)) ^ 2-b ^ 2 / (4a ^ 2) = - c / a #

# (X + b / (2a)) ^ 2 = b ^ 2 / (4a ^ 2) -c / en #

# (X + b / (2a)) ^ 2 = b ^ 2 / (4a ^ 2) - (4ac) / (4a ^ 2) #

# (X + b / (2a)) ^ 2 = (b ^ 2-4ac) / (4a ^ 2) #

# X + b / (2a) = + - sqrt (b ^ 2-4ac) / sqrt (4a ^ 2) #

# X + b / (2a) = + - sqrt (b ^ 2-4ac) / (2a) #

# X = -b / (2a) + - sqrt (b ^ 2-4ac) / (2a) #

#:. x = (- b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

Den berømte kvadratiske formel kan udledes af fuldføre pladsen.

Den nye transformationsmetode til løsning af kvadratiske ligninger.

SAG 1. Løsningstype # x ^ 2 + bx + c = 0 #. Løsning betyder at finde 2 tal, der kender deres sum (# -B #) og deres produkt (# C #). Den nye metode komponerer faktorpar af (# C #), og på samme tid anvender tegnets tegn. Derefter finder den parret, hvis sum svarer til (# B #) eller (# -B #).

Eksempel 1. Løse # x ^ 2 - 11x - 102 = 0 #.

Opløsning. Komponere faktorpar af #c = -102 #. Rødder har forskellige tegn. Fortsæt: #(-1, 102)(-2, 51)(-3, 34)(-6, 17).# Sidste sum # (- 6 + 17 = 11 = -b). # Så er de 2 rigtige rødder: #-6# og #17#. Ingen factoring ved at gruppere.

CASE 2. Løsning af standardtype: # ax ^ 2 + bx + c = 0 # (1).

Den nye metode transformerer denne ligning (1) til: # x ^ 2 + bx + a * c = 0 # (2).

Løs ligningen (2) som vi gjorde i CASE 1 for at få de 2 rigtige rødder # Y_1 # og # Y_2 #. Derefter opdele # Y_1 # og # Y_2 # ved koefficienten a at få de 2 rigtige rødder # X_1 # og # X_2 # af den oprindelige ligning (1).

Eksempel 2. Løse # 15x ^ 2 - 53x + 16 = 0 #. (1) # a * c = 15 (16) = 240. #

Transformeret ligning: # x ^ 2 - 53 + 240 = 0 # (2). Løs ligning (2). Begge rødder er positive (tegnets tegn). Komponere faktorpar af # a * c = 240 #. Fortsæt: #(1, 240)(2, 120)(3, 80)(4, 60)(5, 48)#. Denne sidste sum er # (5 + 48 = 53 = -b) #. Så er de 2 rigtige rødder: # y_1 = 5 # og

# y_2 = 48 #. Tilbage til den oprindelige ligning (1) er de 2 rigtige rødder: # x_1 = y_1 / a = 5/15 = 1/3; # og # x_2 = y_2 / a = 48/15 = 16 / 5. # Ingen factoring og løsning af binomials.

Fordelene ved den nye transformationsmetode er: simple, hurtige, systematiske, ingen gætte, ingen factoring ved gruppering og ingen løsning af binomials.