Hvilke forsøg blev der gjort, da folk forsøgte at bevise Collatz Conjecture?

Svar:

Et par tanker …

Forklaring:

Den store polske matematiker Paul Erdős sagde om Collatz-formodningen om, at "matematik måske ikke er klar til sådanne problemer.". Han tilbød en $ 500 præmie for en løsning.

Det virker som intractable i dag, som da han sagde det.

Det er muligt at udtrykke Collatz-problemet på flere forskellige måder, men der er ingen reel metode til at forsøge at løse det. Da jeg var på universitetet for næsten 40 år siden, syntes den eneste ide, folk syntes at have, at se på det ved hjælp af 2-adic aritmetik.

Jeg tænkte på at forsøge at løse det ved hjælp af en slags måle-teoretisk tilgang, men om det bedste, der kunne gøre, ville det nok være at vise, at antallet af tal, der ikke rammer #1# er af foranstaltning #0#. Det ville ikke udelukke eksistensen af kontraeksempler.

Collatz-formodningen er blevet kontrolleret af computeren for tal op til ca. #10^20#, men det viser kun virkelig, at det er plausibelt - det viser ikke, at det er sandt for alle tal.

For at forstå, hvorfor iterative processer som det i Collatz-formodning er så vanskelige at løse generelt, kan det hjælpe med at se, hvor rige kombinationen af addition og multiplikation på naturlige tal faktisk er.

Hvis du for eksempel definerer et formelt matematisk system med et begrænset antal symboler og tilladte operationer, er den grundlæggende aritmetik tilstrækkelig til at kodificere den. Det bliver så muligt at konstruere en algebraisk sætning, som fortolket siger effektivt "Jeg er ikke beviselig i dette formelle system". En sådan erklæring er så sand, men ikke bevislig. Så det formelle system er tilsyneladende ufuldstændigt.

Dette er stort set kernen i beviset på Gödel's anden ufuldstændighedssætning.