Brug http: //.org/questions/in-1-6-1-6666-repeating-6-is-called-repeatend-or-reptend-i-learn-from-https-en-w, hvordan designer du et sæt rationelle tal {x} der har reptend med millioner cifre?

Svar:

Se nedenunder.

Forklaring:

Lad os gå et skridt videre og designe et sæt, der indeholder hver rationelt tal med en gentagelse med #10^6# cifre.

Advarsel: Det følgende er meget generaliseret og indeholder nogle atypiske konstruktioner. Det kan være forvirrende for elever, der ikke er helt komfortable med at konstruere sæt.

Først vil vi konstruere sæt af vores gentagelser af længde #10^6#. Mens vi kan starte med sættet #{1, 2, …, 10^(10^6+1)-1}# som højst indeholder hvert naturligt tal #10^6# cifre, vi ville støde på et problem. Nogle af disse gentagelser kunne for eksempel være repræsenteret med mindre strenge # 0.bar (111 … 1) = 0.bar (1) #, eller # 0.bar (121212 … 12) = 0.bar (12) #. For at undgå dette definerer vi først et nyt udtryk.

Overvej et helt tal #a i 1, 10 ^ (10 ^ 6 + 1) -1 #. Lade # A_1a_2 … A_ (10 ^ 6) # vær en #10^6# cifret repræsentation af det helt tal, eventuelt med ledende #0#s hvis #en# har færre end #10^6# cifre. Vi vil ringe #en# nyttig hvis for hver ordentlig divisor # M # af #10^6#, #en# er ikke af formularen # a_1a_2 … a_ma_1a_2 … a_m "" … "" a_1a_2 … a_m #

Nu kan vi gøre vores sæt gentagelser.

Lade #A = {a i {1, 2, …, 10 ^ (10 ^ 6 + 1) -1}: en "er nyttig"} #

Derefter konstruerer vi vores sæt potentielle nonrepeating første decimaler. Husk på, at dette også kunne have førende #0#s, eller består helt af #0#s, vi repræsenterer vores tal som tuples af formularen # (k, b) #, hvor # K # vil repræsentere længden af strengen af cifre, og # B # vil repræsentere sin værdi, når den bedømmes som et helt tal. For eksempel cifrene #00032# ville parre med tuplen #(5, 32)#.

Lade #B = (NNuu {0}) xx (NNuu {0}) #

Endelig lad os tilføje vores heltal til mixen. Bemærk, at i modsætning til de delvise dele, vil vi tegne skilt her og bruge # ZZ # i stedet for # NN #.

Lade #C = A xx B xx ZZ #. Det er, # C # er sæt af #3#-tuples # (a, (k, b), c) # sådan at #en# er et nyttigt heltal med højst #10^6# cifre, # (k, b) # repræsenterer a # K #-digit streng af cifre hvis integral værdi er # B #, og # C # er et helt tal.

Nu hvor vi har sæt, der omfatter alle mulige #a, b, c # streng med de ønskede egenskaber, vil vi sætte dem sammen ved hjælp af formularen konstrueret i det refererede spørgsmål.

#S: = {((10 ^ kc + b) (10 ^ (10 ^ 6) -1) + a) / (10 ^ k (10 ^ (10 ^ 6) -1)), b), c) i C} #

Derefter #S delmængde QQ # er sætet af rationelle tal med #10^6# ciffer gentager.

Takket være Sente er teorien i sit svar.

For en delmængde af svaret

# {x} = {I + M + (d_ (msd) ddd … dddd_ (lsd)) / (9999 … 9999)} #, #I i N # og M en ordentlig brøkdel af form m-cifret

heltal/# 10 ^ m #, #d_ (MSD) # er ikke-nul mest signifikante ciffer. lsd

betyder det mindst signifikante ciffer..

udredning:

Lad I = 2, M =.209 / 1000 =.209, #d_ (lsd) = 7 og d_ (msd) = 3 #. I-

mellem d's er alle 0..

Derefter.

#x = 2.209+ (7000 … 0003) / (9999 … 9999) #

# = 2.209 7000 … 0003 7000 … 0003 7000 … 0003 … ad infinitum.

Bemærk divisionen af #10^100001-1=9999…9999#.

Både tæller og nævneren har samme antal sd.

Sans msd d, d's kunne være nogen #in {0 1 2 3 4 5 6 7 8 9} #.