Hvad er det maksimale område af et rektangel, der har en omkreds på 116m?

Svar:

Området, #A = 841 "m" ^ 2 #

Forklaring:

Lad L = længden

Lad W = bredden

Omkredsen, #P = 2L + 2W #

Givet: #P = 116 "m" #

# 2L + 2W = 116 "m" #

Løs for W i form af L:

#W = 58 "m" - L "1" #

Området, #A = LW "2" #

Erstatte højre side af ligning 1 for W i ligning 2:

#A = L (58 "m" - L) #

#A = -L ^ 2 + (58 "m") L #

For at opnå værdien af L, der maksimerer området, beregnes dets første derivat med hensyn til L, sæt det til 0, og løsningen for L:

Det første derivat:

# (dA) / (dL) = -2L + 58 "m" #

Sæt den lig med 0:

# 0 = -2L + 58 "m" #

#L = 29 "m" #

Brug ligning 1 for at finde værdien af W:

#W = 58 "m" - 29 "m" #

# W = 29 "m" #

Dette viser, at rektanglet, der producerer det maksimale område, er en firkant. Området er:

#A = (29 "m") ^ 2 #

#A = 841 "m" ^ 2 #

Svar:

# 841 ^ 2 #.

Forklaring:

Vi løser dette problem ved hjælp af Algebraiske metoder. Som en

Anden løsning, vi løser det ved hjælp af Calculus

Lade #l og w # være længden og bredden af rektanglet resp.

Derefter Arealet af rektanglet# = Lw. #

Derefter, ved hvad der gives, # 2 (l + w) = 116 eller, (l + w) / 2 = 29 #.

Her bruger vi følgende AGH ulighed af rigtige nos.:

Hvis A, G og H er Aritmetiske, geometriske og harmoniske midler

af # a, b i RR ^ + uu {0} "resp.," A> = G> = H. #

# "Her" A = (a + b) / 2, G = sqrt (ab), &, H = (2ab) / (a + b). #

derfor # (l + w) / 2> = sqrt (lw) eller, ((l + w) / 2) ^ 2> = lb #

Det betyder at, # "Arealet =" lb <= (29) ^ 2 #

Derfor er maksimum område af rektanglet# = 841 ^ 2 #.