Hvorfor skal vi bruge "kombinationer af n ting taget x ad gangen", når vi beregner binomiale sandsynligheder?

Svar:

Se nedenfor på mine tanker:

Forklaring:

Den generelle form for binomial sandsynlighed er:

#sum_ (k = 0) ^ (n) C_ (n, k) (p) ^ k ((~ p) ^ (n-k)) #

Spørgsmålet er, hvorfor har vi brug for den første term, kombinationsbetegnelsen?

Lad os arbejde et eksempel, og så bliver det klart.

Lad os se på binomial sandsynligheden for at vende en mønt 3 gange. Lad os sætte hovedet til at være # P # og ikke at få hoveder # ~ P # (begge #=1/2)#.

Når vi går igennem summationsprocessen, svarer summationens 4 udtryk til 1 (i det væsentlige finder vi alle mulige resultater, og sandsynligheden for, at alle de sammenfattede resultater er 1):

#sum_ (k = 0) ^ (3) = farve (rød) (C_ (3,0) (1/2) ^ 0 ((1/2) ^ (3))) + farve (blå) (C_ (3,1) (1/2) ^ 1 ((1/2) ^ (2))) + C_ (3,2) (1/2) ^ 2 ((1/2) ^ (1)) + C_ (3,3) (1/2) ^ 3 ((1/2) ^ (0)) #

Så lad os tale om det røde udtryk og det blå udtryk.

Det røde udtryk beskriver resultaterne af at få 3 haler. Der er kun 1 måde at opnå, og så har vi en kombination, der svarer til 1.

Bemærk at den sidste term, den der beskriver at få alle hoveder, også har en kombination, der svarer til 1, fordi der igen kun er en måde at opnå det på.

Det blå udtryk beskriver resultaterne af at få 2 haler og 1 hoved. Der er 3 måder der kan ske: TTH, THT, HTT. Og så har vi en kombination der svarer til 3.

Bemærk at det tredje udtryk beskriver at få 1 hale og 2 hoveder, og igen er der 3 måder at opnå det, og så er kombinationen lig med 3.

Faktisk skal vi i enhver binomialfordeling finde sandsynligheden for en enkelt form for begivenhed, såsom sandsynligheden for at opnå 2 hoveder og 1 hale og derefter multiplicere det med antallet af måder, det kan opnås. Da vi ikke er ligeglade med den rækkefølge, hvor resultaterne opnås, bruger vi en kombinationsformel (og ikke, sige en permutationsformel).