Hvis f (x) = x tan ^ -1then f (1) er hvad?

Svar:

# f (1) # hvor #f (x) = x arctan x #.

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4 #

Forklaring:

Jeg antager, at spørgsmålet er #F (1) # hvor #f (x) = x arctan x #.

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 #

Normalt vil jeg behandle # Arctan # som multivalued. Men her med den eksplicit funktion notation #F (x) # Jeg vil sige, at vi vil have den primære værdi af den inverse tangent. Vinklen med tangent 1 i den første kvadrant er # 45 ^ circ # eller # Pi / 4 #:

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4 #

Det er slutningen. Men lad os stille spørgsmålet til side og fokusere på hvad #arctan t # virkelig betyder.

Jeg tænker normalt på #tan ^ -1 (t) # eller ækvivalent (og jeg synes bedre notation) #arctan (t) # som en multivalued udtryk. Funktionen arctan er ikke rigtig en funktion, fordi den er omvendt af noget periodisk, som ikke rigtig kan have en invers over hele sit domæne.

Dette er virkelig forvirrende for elever og lærere. Pludselig har vi ting, der ligner funktioner, der ikke rigtig fungerer. De har lige smidt ind under radaren. Nye regler er nødvendige for at håndtere dem, men de er aldrig udtrykkeligt angivet. Math begynder at blive fuzzy, når det ikke skal.

# x = arctan t # er bedst tænkt som løsningerne på #tan x = t. # Der er et uendeligt antal af dem, en pr. Periode. Tangent har en periode på # Pi # så løsningerne er # Pi # fra hinanden, hvilket er hvor #pi k # kommer fra, heltal # K #.

Jeg skriver normalt hovedverdien af den inverse tangent som Arctan, med en hovedstad A. Desværre holder Socratic "korrigere" den. Jeg vil fudge det her:

#t = tan x # har løsninger

#x = arctan t = tekst {Arc} tekst {tan} (t) + pi k quad # for heltal # K #.