Hvordan finder du grænsen for (8x-14) / (sqrt (13x + 49x ^ 2)) som x nærmer sig oo?

Svar:

Gør lidt factoring og annullere for at få #lim_ (x-> oo) (8x-14) / (sqrt (13x + 49x ^ 2)) = 8/7 #.

Forklaring:

Ved grænserne for uendelig er den generelle strategi at udnytte den kendsgerning, at #lim_ (x-> oo) 1 / x = 0 #. Normalt betyder det factoring ud en #x#, hvilket er hvad vi skal gøre her.

Begynd ved at factoring en #x# ude af tælleren og an # X ^ 2 # ud af nævneren:

# (X (8-14 / x)) / (sqrt (x ^ 2 (13 / x + 49))) #

# = (X (8-14 / x)) / (sqrt (x ^ 2) sqrt (13 / x + 49)) #

Spørgsmålet er nu med #sqrt (x ^ 2) #. Det svarer til #abs (x) #, som er en stykkevis funktion:

#abs (x) = {(x, "for", x> 0), (- x, "for", x <0):} #

Da dette er en grænse ved positiv uendelighed (#x> 0 #), vil vi erstatte #sqrt (x ^ 2) # med #x#:

# = (X (8-14 / x)) / (xsqrt (13 / x + 49)) #

Nu kan vi annullere #x#s:

# = (8-14 / x) / (sqrt (13 / x + 49)) #

Og endelig se hvad der sker som #x# går til # Oo #:

# = (8-14 / oo) / (sqrt (13 / oo + 49)) #

Fordi #lim_ (x-> oo) 1 / x = 0 #, dette er lig med:

# (8-0) / (sqrt (0 + 49)) #

# = 8 / sqrt (49) #

#=8/7#