Hvordan finder du grænsen for sqrt (x ^ 2-9) / (2x-6) som x nærmer sig -oo?

Svar:

Gør lidt factoring at få #lim_ (x -> - oo) = - 1/2 #.

Forklaring:

Når vi beskæftiger os med grænser ved uendelighed, er det altid nyttigt at faktorere en #x#, eller en # X ^ 2 #, eller hvad magt af #x# forenkler problemet. For denne, lad os faktorere en # X ^ 2 # fra tælleren og an #x# fra nævneren:

#lim_ (x -> - oo) (sqrt (x ^ 2-9)) / (2x-6) = (sqrt ((x ^ 2) (1-9 / (x ^ 2)))) / (x (2-6 / x)) #

# = (Sqrt (x ^ 2) sqrt (1-9 / (x ^ 2))) / (x (2-6 / x)) #

Her begynder det at blive interessant. Til #x> 0 #, #sqrt (x ^ 2) # er positiv; dog for #X <0 #, #sqrt (x ^ 2) # er negativ. I matematiske termer:

#sqrt (x ^ 2) = abs (x) # til #x> 0 #

#sqrt (x ^ 2) = - x # til #X <0 #

Da vi beskæftiger os med en grænse ved negativ uendelighed, #sqrt (x ^ 2) # bliver til #-x#:

# = (- xsqrt (1-9 / (x ^ 2))) / (x (2-6 / x)) #

# = (- sqrt (1-9 / (x ^ 2))) / (2-6 / x) #

Nu kan vi se skønheden i denne metode: vi har en # 9 / x ^ 2 # og # 6 / x #, som begge vil gå til #0# som #x# går til negativ uendelighed:

#lim_ (x -> - oo) = (- sqrt (1-0)) / (2-0) #

#lim_ (x -> - oo) = - 1/2 #