Løs følgende ligning: (x ^ 2-2) / 3 + ((x ^ 2-1) / 5) ^ 2 = 7/9 (x ^ 2-2)?

Svar:

# X = -sqrt11, -sqrt19 / 3, sqrt19 / 3, sqrt11 #

Denne forklaring giver en ret dybtgående metode til at bestemme trinene for at finde mulige faktorer til at omskrive en kvadratisk type ligning, således at den er løsbar uden den kvadratiske ligning og / eller en lommeregner.

Forklaring:

Første firkantet termen på venstre side af ligningen.

# (X ^ 2-2) / 3 + (x ^ 2-1) ^ 2/25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Udvid den kvadrede binomial. Husk det # (X ^ 2-1) ^ 2 = (x ^ 2-1) (x ^ 2-1) #.

# (X ^ 2-2) / 3 + (x ^ 4-2x ^ 2 + 1) / 25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Vi kan rydde fraktionerne ved at multiplicere ligningen med den mindste fællesnævner af #3,25,# og #9,# som er #225#.

Noter det #225=3^2*5^2#, så #225/3=75#, #225/25=9#, og #225/9=25#.

Multiplicere gennem ved #225# giver:

# 75 (x ^ 2-2) 9 (x ^ 4-2x ^ 2 + 1) = 25 (7) (x ^ 2-2) #

Fordel hver multiplikativ konstant.

# 75x ^ 2-150 + 9x ^ 4-18x ^ 2 + 9 = 175x ^ 2-350 #

Flyt alle termer til den ene side og genbestill ligningen.

# 9x ^ 4-118x ^ 2 + 209 = 0 #

Dette har potentialet til at være faktorable: manglen på # X ^ 3 # og #x# vilkår betyder, at dette kan være faktureret i formularen # (X ^ 2 + a) (x ^ 2 + b) #.

For at teste for faktorer bemærk at vi skal finde et par heltal, hvis produkt er produktet af den første og endelige koefficienter, hvilket er # 9xx209 = 3 ^ 2 * 11 * 19 #. De samme heltal, hvis produkt er #3^2*11*19# bør have en sum af #-118#.

Da produktet er positivt og summen er negativ, ved vi begge, at heltallene vil være positive.

Tricket er nu at finde en kombination af tal, der kommer fra #3^2*11*19# hvis sum er #118#. (Hvis vi finder den positive version, kan vi nemt skifte begge numre til deres negative form.)

Vi bør forsøge at komme op med grupperinger af faktorerne fra #3^2*11*19# der ikke overstiger #118#.

Vi kan forebyggende eliminere muligheden for #3^2*19# og #11*19# forekommer som et af vores to heltal, da begge disse er større end #118#. Således, hvis vi fokuserer på #19# da det er den største faktor, ved vi det vil kun eksistere som enten #19# eller #3*19#.

Så vores eneste to muligheder for heltalene er:

# {:(bb "Integer 1", "", bb "Integer 2", "", bb "Sum"), (19, "", 3 ^ 2 * 11 = 99, "" 118) * 3 = 57, "", 3 * 11 = 33, "", 90):} #

Derfor er vores par tal, hvis produkt er #3^2*11*19# og summen er #118# er #19# og #99#.

Herfra kan vi skrive kvartalet som:

# 9x ^ 4-118x ^ 2 + 209 = 9x ^ 4-99x ^ 2-19x ^ 2 + 209 #

Faktor ved gruppering:

# 9x ^ 2 (x ^ 2-11) -19 (x ^ 2-11) = (9x ^ 2-19) (x ^ 2-11) = 0 #

Opdele dette i to ligninger:

# 9x ^ 2-19 = 0 "" => "x ^ 2 = 19/9" "=>" "x = + - sqrt19 / 3 #

# x ^ 2-11 = 0 "" => "" x ^ 2 = 11 "" => "" x = + - sqrt11 #

Svar:

Ligninger med fraktioner ser altid værre ud end de er. Så længe du har en ligning og ikke et udtryk, kan du slippe af med denominators ved at multiplicere gennem LCM af denominators.

Forklaring:

# (x ^ 2-2) / 3 + ((x ^ 2-1) / 5) ^ 2 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Lad os starte med at kvadrere nævneren i anden sigt.

# (x ^ 2-2) / 3 + ((x ^ 2-1) ^ 2) / 25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Multiplicer nu hvert udtryk med 225 for at annullere deominatorerne.

#cancel (225) ^ 75xx ((x ^ 2-2)) / annullér3 + annullér (225) ^ 9 ((x ^ 2-1) ^ 2) / annullér25 = annullér (225) ^ 25xx7 / annullér9 2-2) #

# 75 (x ^ 2-2) + 9 (x ^ 2-1) ^ 2 = 175 (x ^ 2-2) #

Dette er helt klart et kvadratisk, så gør det lig med 0.

# 75 (x ^ 2-2) + 9 (x ^ 2-1) ^ 2 - 175 (x ^ 2-2) = 0 #

Bemærk at det første og tredje udtryk er som udtryk, så vi kan tilføje dem sammen. Også firkantet mellemfristen.

# 9 (x ^ 4 - 2x ^ 2 +1) -100 (x ^ 2 -2) + = 0 #

Fjern parenteserne ved fordelingslovgivningen:

# 9x ^ 4 - 18x ^ 2 +9 -100x ^ 2 + 200 = 0 #

Forenkle: # 9x ^ 4 - 118x ^ 2 + 209 = 0 #

At udforske faktorerne 9 og 209 fører til

9 = 3x3 eller 9x1 og 209 = 11 x 19

Kombinationen af faktorer, der tilføjer til 118, er 99 + 19

Factoriserende giver # (x ^ 2 - 11) (9x ^ 2- 19) = 0 #

Hvis # x ^ 2 - 11 = 0 #

# x ^ 2 = 11 #

# x = + -sqrt11 #

Hvis # 9x ^ 2- 19 = 0 #

# 9x ^ 2 = 19 #

# x ^ 2 = 19/9 #

# x = (+ -sqrt19) / 3 #