Løs for x i RR ligningen sqrt (x + 3-4sqrt (x-1)) + sqrt (x + 8-6sqrt (x-1)) = 1?

Svar:

#x i 5, 10 #

Forklaring:

Lade # u = x-1 #. Vi kan så omskrive den venstre side af ligningen som

#sqrt (u + 4-4sqrt (u)) + sqrt (u + 9-6sqrt (u)) #

# = sqrt ((sqrt (u) -2) ^ 2) + sqrt ((sqrt (u) -3) ^ 2) #

# = | Sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | #

Bemærk tilstedeværelsen af #sqrt (u) # i ligningen og at vi kun søger virkelige værdier, så vi har begrænsningen #u> = 0 #. Med det vil vi nu overveje alle de resterende sager:

Sag 1: # 0 <= u <= 4 #

# | Sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => 2-sqrt (u) + 3-sqrt (2) = 1 #

# => -2sqrt (u) = -4 #

# => sqrt (u) = 2 #

# => u = 4 #

Dermed # U = 4 # er den eneste løsning i intervallet #0, 4#

Sag 2: # 4 <= u <= 9 #

# | Sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) -2 + 3 - sqrt (u) = 1 #

#=> 1=1#

Da dette er en tautologi, er hver værdi i #4, 9# er en løsning.

Sag 3: #u> = 9 #

# | Sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) - 2 + sqrt (u) - 3 = 1 #

# => 2sqrt (u) = 6 #

# => sqrt (u) = 3 #

# => u = 9 #

Dermed #u = 9 # er den eneste løsning i intervallet # 9, oo) #

Sammen har vi #4, 9# som løsningen er fastsat for reelle værdier af # U #. Udbytter i #x = u + 1 #, vi ankommer til den endelige løsning sæt #x i 5, 10 #

Kig på grafen på venstre side matcher dette med, hvad vi ville forvente: