Hvad er konvergensradien for denne power-serie? ln (1-z) = - z - 1/2 z ^ 2 - 1/3 z ^ 3 ...

Svar:

#abs z <1 #

Forklaring:

# d / (dz) (z-1 / 2z ^ 2 + 1/3z ^ 3 + cdots + (- 1) ^ (n + 1) / nz ^ n + cdots) = sum_ (k = 0) ^ oo -1) ^ kz ^ k #

men

#zum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k = lim_ (n-> oo) (z ^ n + 1) / (z + 1). Nu overvejer #abs z <1 # vi har

#sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ k z ^ k = 1 / (1 + z) # og

#int sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k dz = log (1 + z) #

nu gør substitutionen #z -> - z # vi har

# -int sum_ (k = 0) ^ oo z ^ k dz = -sum_ (k = 1) ^ oo z ^ k / k = log (1-z)

så det er konvergent for #abs z <1 #