# x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x ^ 3) ^ 2-2 (x ^ 3) + 1 # er af formen # Y ^ 2-2y + 1 # hvor #y = x ^ 3 #.
Denne kvadratiske formel i # Y # faktorer som følger:
# y ^ 2-2y + 1 = (y-1) (y-1) = (y - 1) ^ 2 #
Så # x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x ^ 3-1) ^ 2 #
# x ^ 3 - 1 = (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) #
Så # x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) (x - 1) (x ^ 2 + x + 1)
# = (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 #.
# X ^ 2 + x + 1 # har ingen lineære faktorer med reelle koefficienter. For at kontrollere denne meddelelse, er den af formularen # ax ^ 2 + bx + c #, som har diskriminerende
#Delta = b ^ 2 - 4ac = 1 ^ 2 - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = -3 #
At være negativ, ligningen # x ^ 2 + x + 1 = 0 # har ingen reelle rødder.
En måde at kontrollere svaret på er at erstatte en værdi for #x# det er ikke en rod i begge sider og se om vi får det samme resultat:
Prøve # X = 2 #:
# x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = 2 ^ 6-2x ^ 3 + 1 #
# = 64- (2xx8) +1 = 64-16 + 1 = 49 #
Sammenligne:
# (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 = (2-1) ^ 2 (2 ^ 2 + 2 + 1) ^ 2 #
#1^2*7^2=49#
Nå det fungerede!
# x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # Det er ret nemt at faktor, fordi det er et perfekt firkant. Hvordan ved jeg det her? Det er et trinomial i form # a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #, og alle trinomier i den form er perfekte firkanter.
Dette trinomiale er det perfekte torv af # (x ^ 3 - 1) #. For at kontrollere mit arbejde vil jeg arbejde baglæns:
# (x ^ 3 - 1) (x ^ 3 - 1) #
# = x ^ 6 - x ^ 3 - x ^ 3 + 1 #
# = x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #
Så dette trinomiale har faktorer af #1#, # x ^ 3 - 1 #, og # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #.
Men som det er blevet påpeget for mig, # (x ^ 3 - 1) # har også faktorer. Da det er en binomial af formularen # a ^ 3 - b ^ 3 #, det kan også skrives som # (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) #.
Så, # (x ^ 3 - 1) # faktorer ind i # (x - 1) # og # (x ^ 2 + x + 1) #, som begge er prime.
Faktorerne for # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # er:
#1#
# x-1 #
# x ^ 2 + x + 1 #
# x ^ 3 - 1 #
# x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #
Nærmere bestemt er PRIME-faktorisering af # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # er:
# (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 #
