Hvorfor er kvadratroden af 5 et irrationelt nummer?

Svar:

Se forklaring …

Forklaring:

Her er en skitse af et bevis ved modsigelse:

Formode #sqrt (5) = p / q # for nogle positive heltal # P # og # Q #.

Uden tab af generalitet kan vi antage det #p, q # er de mindste sådanne tal.

Så pr. Definition:

# 5 = (p / q) ^ 2 = p ^ 2 / q ^ 2 #

Multiplicer begge ender med # Q ^ 2 # at få:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 #

Så # P ^ 2 # kan deles af #5#.

Så siden #5# er prime, # P # skal være delelig med #5# også.

Så #p = 5m # for nogle positive heltal # M #.

Så vi har:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 = (5m) ^ 2 = 5 * 5 * m ^ 2 #

Opdel begge ender med #5# at få:

# q ^ 2 = 5 m ^ 2 #

Opdel begge ender med # MA2 # at få:

# 5 = q ^ 2 / m ^ 2 = (q / m) ^ 2 #

Så #sqrt (5) = q / m #

Nu #p> q> m #, så #q, m # er et mindre par heltal, hvis kvotient er #sqrt (5) #, modsiger vores hypotese.

Så vores hypotese at #sqrt (5) # kan repræsenteres af # P / q # for nogle heltal # P # og # Q # er falsk. Det er, #sqrt (5) # er ikke rationel. Det er, #sqrt (5) # er irrationel.