Hvad er løsningerne på (z-1) ^ 3 = 8i?

Svar:

#z i {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #

Forklaring:

For dette problem skal vi vide, hvordan man finder # N ^ "th" # rødder af et komplekst tal. For at gøre dette bruger vi identiteten

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

På grund af denne identitet kan vi repræsentere et komplekst tal som

# a + bi = Re ^ (itheta) # hvor #R = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # og #theta = arctan (b / a) #

Nu skal vi gå over trappen for at finde # 3 ^ "rd" # rødder af et komplekst tal # A + bi #. Skridtene til at finde # N ^ "th" # rødder er ens.

Givet # a + bi = Re ^ (itheta) # Vi leder efter alle komplekse tal # Z # sådan at

# z ^ 3 = Re ^ (itheta) #

Som # Z # er et komplekst tal, eksisterer der # R_0 # og # Theta_0 # sådan at

#z = R_0e ^ (itheta_0) #

Derefter

# z ^ 3 = (R_0e ^ (itheta_0)) ^ 3 = R_0 ^ 3e ^ (3itheta_0) = Re ^ (itheta) #

Fra dette har vi straks # R_0 = R ^ (1/3) #. Vi kan også ligestille eksponenterne for # E #, men bemærker at som sinus og cosinus er periodiske med perioden # 2pi #, derefter fra den oprindelige identitet, # E ^ (itheta) # vil være så godt. Så har vi

# 3itheta_0 = i (theta + 2pik) # hvor # k i ZZ #

# => theta_0 = (theta + 2pik) / 3 # hvor # k i ZZ #

Men som om vi fortsætter med at tilføje # 2pi # igen og igen vil vi ende med de samme værdier, vi kan ignorere de overflødige værdier ved at tilføje begrænsningen # theta_0 i 0, 2pi) #, det er, #k i {0, 1, 2} #

Hvis vi sætter det sammen, får vi løsningen

(1/3) e ^ (i ((theta + 2pi)) / 3), R ^ (1/3) e ^ (i (theta + 4pi) / 3)} #

Vi kan konvertere dette tilbage til # A + bi # form hvis ønsket ved brug af identiteten

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

Anvendelse af ovenstående til problemet ved hånden:

# (z-1) ^ 3 = 8i #

# => z-1 = 2i ^ (1/3) #

# => z = 2i ^ (1/3) + 1 #

Ved hjælp af ovenstående proces kan vi finde # 3 ^ "rd" # rødder af #jeg#:

(ipi / 6), e ^ (i (5pi) / 6), e ^ (i (3pi) / 2) } #

Anvendelse # e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) # vi har

# i ^ (1/3) i {sqrt (3) / 2 + i / 2, -sqrt (3) / 2 + i / 2, -i} #

Endelig erstatter vi disse værdier for #z = 2i ^ (1/3) + 1 #

#z i {2 (sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-i) +1} #

# = {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #