Svar:
Ingen løsninger i # RR #.
Forklaring:
Først og fremmest lad os forenkle lidt:
Som # E ^ x # og #ln (x) # er inverse funktioner, # e ^ ln (x) = x # holder såvel som #ln (e ^ x) = x #. Det betyder, at du kan forenkle din tredje logaritmiske term:
# log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 ((1 / x) / 3) = 4/3 #
# <=> log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
Dit næste mål er at bringe alle de # Log # fungerer til samme base, så du har mulighed for at bruge logaritmeregler på dem og forenkle.
Du kan ændre logaritmen basen som følger:
#log_a (x) = log_b (x) / log_b (a) #
Lad os bruge denne regel til at ændre basen #8# af # Log_8 # og basen #32# af # Log_32 # at basere #2#:
# log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
# <=> (log_2 (1-x)) / (log_2 (8)) + (10 log_2 (x)) / (3 log_2 (32)) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
Nu kan vi beregne # log_2 (8) = 3 # og # log_2 (32) = 5 #
(hvis det ikke er klart, lad mig bryde det ned for at være sikker: # log_2 (8) = x <=> 2 ^ (log_2 (8)) = 2 ^ x <=> 8 = 2 ^ x <=> 2 ^ 3 = 2 ^ x #)
Dette fører os til den følgende enklere logaritmiske ligning:
# (log_2 (1-x)) / 3 + (10 log_2 (x)) / (3 * 5) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
# <=> 1/3 log_2 (1-x) + 2/3 log_2 (x) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
… formere begge sider med #3#…
# <=> log_2 (1-x) + 2 log_2 (x) - 3 log_2 (1 / (3x)) = 4 #
Nu er vi klar til at bruge logaritmen:
#log_a (x * y) = log_a (x) + log_a (y) # og #log_a (x ^ y) = y * log_a (x) #
Målet er at have kun en # Log # sigt på venstre side. Lad os gøre det.:)
# log_2 (1-x) + 2 log_2 (x) - 3 log_2 (1 / (3x)) = 4 #
# <=> log_2 (1-x) + log_2 (x ^ 2) + log_2 ((1 / (3x)) ^ (- 3)) = 4 #
# <=> log_2 (1-x) + log_2 (x ^ 2) + log_2 (27 x ^ 3) = 4 #
# <=> log_2 ((1-x) * x ^ 2 * 27 x ^ 3) = 4 #
# <=> log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6) = 4 #
På dette tidspunkt kan vi slippe af med # Log_2 (a) # ved at anvende den inverse funktion # 2 ^ en # til begge sider af ligningen.
# log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6) = 4 #
# <=> 2 ^ (log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6)) = 2 ^ 4 #
# <=> 27 x ^ 5 - 27 x ^ 6 = 2 ^ 4 #
# <=> 27 x ^ 5 - 27 x ^ 6 = 16 #
# <=> -x ^ 6 + x ^ 5 = 16/27 #
# <=> -x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 = 0 #
Desværre må jeg indrømme, at jeg sidder fast i dette øjeblik, da jeg ikke ved, hvordan man løser denne ligning.
Men planlægning #f (x) = - x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 # fortæller mig, at denne ligning ikke har nogen løsninger i # RR #.
graf {- x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 -9,63, 10,37, -4,88, 5,12}
Jeg håber, at dette hjalp lidt!
