Hvad er hastigheden af en partikel for t = 0 til t = 10 hvos acceleration er veca = 3t ^ 2 hati + 5t hatj- (8t ^ 3 + 400) hatk?

Svar:

Gennemsnitlig hastighed: # 6.01 xx 10 ^ 3 # #"Frk"#

Hastighed til tiden #t = 0 # # "S" #: #0# #"Frk"#

Hastighed ved #t = 10 # # "S" #: # 2.40 xx 10 ^ 4 # #"Frk"#

Forklaring:

Jeg formoder, at du mener gennemsnitshastighed fra #t = 0 # til #t = 10 # # "S" #.

Vi får komponenterne i partiklens acceleration og bedt om at finde gennemsnitshastigheden over den første #10# sekunder af dens bevægelse:

#vecv_ "av" = (Deltavecr) / (10 "s") #

hvor

#v_ "av" # er størrelsen af gennemsnitshastigheden, og
# Participate # er ændringen i objektets position (fra #0# # "S" # til #10# # "S" #).

Vi må derfor finde objektets position på disse to gange.

Vi skal udlede en positionsligning fra denne accelerationsligning ved at integrere den to gange:

Første integration:

#vecv = (t ^ 3) hati + (5 / 2t ^ 2) hatj - (2t ^ 4 + 400t) hat # (Hastighed)

Anden integration:

#vecr = (1 / 4t ^ 4) hati + (5 / 6t ^ 3) hatj - (2 / 5t ^ 5 + 200t ^ 2) hatk # (position)

Den oprindelige position antages at være ved oprindelsen, så lad os plugge ind #10# til # T # i positionens ligning:

#vecr = (2500) hati + (2500/3) hatk - (60000) hatk #

Vi kan så opdele gennemsnitshastighedsligningen i komponenter:

# 25 "x" = (Deltax) / (10 "s") = (2500 "m") / (10 "s") = farve (rød) #COLOR (rød) ("m / s" #

(2500/3 "m") / (10 "s") = farve (blå) (250/3 # #COLOR (blå) ("m / s" #

#v_ "av-z" = (Deltaz) / (10 "s") = (-60000 "m") / (10 "s") = farve (grøn) #COLOR (grøn) ("m / s" #

Ved hjælp af disse komponenter kan vi finde størrelsen af den gennemsnitlige hastighedsvektor:

#v_ "av" = sqrt ((v_ "av-x") ^ 2 + (v_ "av-y") ^ 2 + (v_ "av-z") ^ 2) #

# = sqrt ((250 "m / s") ^ 2 + (250/3 "m / s") ^ 2 + (-6000 "m / s") ^ 2)

# = farve (lilla) (6.01 xx 10 ^ 3 # #COLOR (lilla) ("m / s" #

(Her er den øjeblikkelig hastighedsafsnit).

At finde de øjeblikkelige hastigheder på #t = 0 # og #t = 10 # # "S" #, lad os først tilslutte disse tider til den tidligere integrerede hastighedsligning:

#t = 0 # # "S" #

#vecv = ((0 "s") ^ 3) hati + (5/2 (0 "s") 2) hatj - (2 (0 "s") ^ 4 + 400 (0 "s")) hat #

# = farve (rød) (0 # #COLOR (rød) ("m / s" #

#t = 10 # # "S" #

#vecv = ((10 "s") ^ 3) hati + (5/2 (10 "s") 2) hatj (2 (10 "s") ^ 4 + 400 (10 "s")) hat #

# = (1000 "m / s") hati + (250 "m / s") hatj - (24000 "m / s") hat #

Størrelsen af denne hastighed er således

#v (10 "s") = sqrt ((1000 "m / s") ^ 2 + (250 "m / s") ^ 2 + (-24000 "m / s") ^ 2)

# = farve (blå) (2,40 xx 10 ^ 4 # #COLOR (blå) ("m / s" #