Hvad er projektionen af (i -2j + 3k) på (3i + 2j - 3k)?

Svar:

#proj_vec v vec u = (-15 / 11i-10 / 11j + 15 / 11k) #

Forklaring:

For at gøre det nemmere at henvise til dem, lad os ringe til den første vektor #vec u # og den anden #vec v #. Vi ønsker projektet af #vec u # på #vec v #:

#proj_vec v vec u = ((vec v * vec v) / || vec v || ^ 2) * vec v #

Det er, i ord, fremspring af vektor #vec u # på vektor #vec v # er prikken af de to vektorer divideret med kvadratet af længden af #vec v # tider vektor #vec v #. Bemærk at stykket inde i parenteserne er en skalar, der fortæller os, hvor langt langs retningen af #vec v # projektionen når.

Lad os først finde længden af #vec v #:

# || vec v || = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2 + (- 3) ^ 2) = sqrt22 #

Men bemærk at i udtrykket hvad vi rent faktisk vil have er # || vec v || ^ 2 #, så hvis vi firkanter begge sider får vi bare #22#.

Nu har vi brug for prikken fra #vec u # og #vec v #:

#vec u * vec v = (1xx3 + (- 2) xx2 + 3xx (-3)) = (3-4-9) = (-10) #

(for at finde punktproduktet multiplicerer vi koefficienterne for #i, j og k # og tilføj dem)

Nu har vi alt, hvad vi har brug for:

#proj_vec v vec u = ((vec v * vec v) / || vec v || ^ 2) * vec v = (-10/22) (3i + 2j-3k) #

# = (- 30 / 22i-20 / 22j + 30 / 22k) = (-15 / 11i-10 / 11j + 15 / 11k) #