Hvorfor eksisterer faktorialer ikke for negative tal?

Svar:

Der ville være en modsigelse med dens funktion, hvis den eksisterede.

Forklaring:

En af de vigtigste praktiske anvendelser af factorial er at give dig antallet af måder at permutere objekter på. Du kan ikke permute #-2# objekter, fordi du ikke kan have mindre end #0# objekter!

Svar:

Det afhænger af hvad du mener …

Forklaring:

Faktorier er defineret for hele tal som følger:

#0! = 1#

# (N + 1)! = (n + 1) n!

Dette giver os mulighed for at definere hvad vi mener med "Factorial" for et ikke-negativt heltal.

Hvordan kan denne definition udvides til at dække andre tal?

Gamma funktion

Er der en kontinuerlig funktion, der gør det muligt for os at "forbinde prikkerne" og definere "Factorial" for et ikke-negativt Real-nummer?

Ja.

#Gamma (t) = int_0 ^ oo x ^ (t-1) e ^ (- x) dx #

Integration af dele viser det #Gamma (t + 1) = t Gamma (t) #

For positive heltal # N # vi finder #Gamma (n) = (n-1)! #

Vi kan udvide definitionen af #Gamma (t) # til negative tal ved hjælp af #Gamma (t) = (Gamma (t + 1)) / t #, undtagen i sagen #t = 0 #.

Det betyder desværre det #Gamma (t) # er ikke defineret, når # T # er nul eller et negativt heltal. Det # Gamma # funktion har en simpel pol på #0# og negative heltal.

Andre muligheder

Er der andre udvidelser af "Factorial", som har værdier for negative heltal?

Ja.

Den romerske faktor er defineret som følger:

#stackrel () (| __n ~ |!) = {(n !, hvis n> = 0), ((-1) ^ (- n-1) / ((- n-1)!), hvis n < 0):} #

Dette er opkaldt efter en matematiker S. Roman, ikke romerne, og er brugt til at give en bekvem notation for koefficienterne i den harmoniske logaritme.