Hvad er sandsynligheden for at vinde i det følgende uendeligt gentagne spil?

Svar:

# "Svar D)" #

Forklaring:

# "Det er det eneste logiske svar, de andre er umulige." #

# "Dette er gamblerens ødelæggelsesproblem." #

# "En gambler starter med k dollar." #

# "Han spiller indtil han når G dollar eller falder tilbage til 0." #

#p = "chance for at han vinder 1 dollar i et spil." #

#q = 1 - p = "chance for at han mister 1 dollar i et spil." #

# "Call" r_k "sandsynligheden (chance) at han bliver ødelagt." #

# "Så har vi" #

# r_0 = 1 #

#r_G = 0 #

#r_k = p * r_ {k + 1} + q * r_ {k-1}, "med" 1 <= k <= G-1 #

# "Vi kan omskrive denne ligning på grund af p + q = 1 som følger:" #

#r_ {k + 1} - r_k = (q / p) (r_k - r_ {k-1}) #

# => r_ {k + 1} - r_k = (q / p) ^ k (r_1 - r_0) #

# "Nu her har vi sagen" p = q = 1 / 2. #

# => r_ {k + 1} - r_k = r_1 - r_0 #

# r_G - r_0 = -1 = sum_ {k = 0} ^ {G-1} (r_ {k + 1} - r_k) #

# = sum_ {k = 0} ^ {G-1} (r_1 - r_0) #

# => r_1 - r_0 = -1 / G #

# "For" r_k "vi har" #

# r_k - r_0 = sum_ {i = 0} ^ {k-1} (r_ {i + 1} - r_i) #

# = k * (r_1 - r_0) #

# = - k / G #

# => r_k = r_0 - k / G = 1 - k / G = (G - k) / G #

# "Så spiller A starter her med k = en dollar og spiller indtil" #

# "han bliver ødelagt eller har en + b dollar." #

# => k = a, "og" G = a + b #

# "Så oddsene, at han bliver ødelagt, er" #

# (G-k) / G = (a + b-a) / (a + b) = b / (a + b) #

# "Oddsene, som han vinder, er" #

# 1 - b / (a + b) = a / (a + b) => "Svar D)" #