Hvordan løser du en ^ 2-sqrt (3) a + 1 = 0?

# (a-sqrt (3) / 2) ^ 2 = (a-sqrt (3) / 2) (a-sqrt (3) / 2)

# = a ^ 2- (sqrt (3) / 2 + sqrt (3) / 2) a + (sqrt (3) / 2)

# = a ^ 2-sqrt (3) a + 3/4 #

Så vi har:

# 0 = a ^ 2-sqrt (3) a + 1 = a ^ 2-sqrt (3) a + 3/4 + 1/4 #

# = (A-sqrt (3) / 2) ^ 2 + 1/4 #

Ved at trække 1/4 fra begge sider får vi:

# (a-sqrt (3) / 2) ^ 2 = -1 / 4 #

Dette har ingen reelle talløsninger, da kvadratet af ethvert reelt tal er ikke-negativt.

Hvis du vil have komplekse løsninger, # a-sqrt (3) / 2 = + -sqrt (-1/4) = + -i / 2 #

Tilføjelse #sqrt (3/2) # til begge sider får vi

#a = sqrt (3) / 2 + - i / 2 #.

Jeg ville begynde at anvende formlen til at løse kvadratiske ligninger (faktisk er dette en kvadratisk ligning i "a"):

#a = (- b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) => a = (sqrt3 + -sqrt ((sqrt3) ^ 2-4 · 1 · 1)) / (2 · 1) => a = (sqrt3 + -sqrt (3-4)) / 2 => a = (sqrt3 + -sqrt (-1)) / 2 #

Som du kan se, har ligningen ingen reel løsning, da den har en kvadratrode af et negativt tal (#sqrt (-1) #).

• Så hvis du arbejder med rigtige tal, er svaret, at der ikke er nogen #a i RR # hvilket gør # a ^ 2-sqrt3a + 1 = 0 #.

• Men hvis du arbejder med komplekse tal, så er der to løsninger:

  # A_1 = (sqrt3 + i) / 2 # og # A_2 = (sqrt3-i) / 2 #.