Hvad er invers af f (x) = -ln (arctan (x))?

Svar:

# f ^ -1 (x) = tan (e ^ -x) #

Forklaring:

En typisk måde at finde en invers funktion på er at indstille #y = f (x) # og derefter løse for #x# at opnå #x = f ^ -1 (y) #

Anvendelse af det her begynder vi med

#y = -ln (arctan (x)) #

# => -y = ln (arctan (x)) #

# => e ^ -y = e ^ (ln (arctan (x))) = arctan (x) # (ved definitionen af # Ln #)

# => tan (e ^ -y) = tan (arctan (x)) = x # (ved definitionen af # Arctan #)

Således har vi # f ^ -1 (x) = tan (e ^ -x) #

Hvis vi ønsker at bekræfte dette via definitionen # f ^ -1 (f (x)) = f (f ^ -1 (x)) = x #

huske på, at #y = f (x) # så vi har allerede

# f ^ -1 (y) = f ^ -1 (f (x)) = x #

Til den modsatte retning, #f (f ^ -1 (x)) = -ln (arctan (tan (e ^ -x)) #

# => f (f ^ -1 (x)) = -ln (e ^ -x) #

# => f (f ^ -1 (x)) = - (- x * ln (e)) = - (- x * 1) #

# => f (f ^ -1 (x)) = x #