Hvordan vurderer du den konkrete integral int sin2theta fra [0, pi / 6]?

Svar:

# Int_0 ^ (pi / 6) sin2theta = 1/4 #

Forklaring:

# int_0 ^ (pi / 6) sin (2theta) d theta #

lade

#COLOR (rød) (u = 2-theta) #

#color (rød) (du = 2d theta) #

#farve (rød) (d theta = (du) / 2) #

Grænserne ændres til #COLOR (blå) (0, pi / 3) #

# int_0 ^ (pi / 6) sin2thetad theta #

# = Int_color (blå) 0 ^ farve (blå) (pi / 3) sincolor (rød) (u (du) / 2) #

# = 1 / 2int_0 ^ (pi / 3) sinudu #

Som vi kender# Intsinx = -COSX #

# = - 1/2 (cos (pi / 3) -cos0) #

#=-1/2(1/2-1)=-1/2*-1/2=1/4#

derfor,# Int_0 ^ (pi / 6) sin2theta = 1/4 #

Hvordan vurderer du den konkrete integral int ((sqrtx + 1) / (4sqrtx)) ^ 2 dx fra [3,9]?

Int_3 ^ 9 ((sqrtx + 1) / (4sqrtx)) ^ 2 * dx = 9/8-sqrt3 / 4 + 1/16 * ln 3 = 0,7606505661495 Fra det givne, int_3 ^ 9 ((sqrtx + 1) / 4sqrtx)) ^ 2 * dx Vi begynder ved først at forenkle integand int_3 ^ 9 ((sqrtx + 1) / (4sqrtx)) ^ 2 * dx int_3 ^ 9 ((sqrtx) / (4sqrtx) + 1 / (4sqrtx)) ^ 2 * dx int_3 ^ 9 (1/4 + 1 / (4sqrtx)) ^ 2 * dx int_3 ^ 9 (1/4) ^ 2 * (1 + 1 / (sqrtx)) ^ 2 * dx int_3 ^ 9 1/16) * (1 + 2 / (sqrtx) + 1 / x) dx (1/16) * int_3 ^ 9 (1 + 2 * x ^ (- 1/2) + 1 / x) dx (1 / 16) * [x + (2 * x ^ (1/2)) / (1/2) + ln x] _3 ^ 9 (1/16) * [x + 4 * x ^ (1/2) + ln x ] (3 + 4 * 3 ^ (1/2) + ln 3)] (1/16) * [9 + 12 + ln 9-3

Hvordan vurderer du den konkrete integral int (2t-1) ^ 2 fra [0,1]?

1/3 int_0 ^ 1 (2t-1) ^ 2dt Lad u = 2t-1 indebærer du = 2dt derfor dt = (du) / 2 Omregning af grænserne: t: 0rarr1 betyder u: -1rarr1 Integral bliver: 1 / 2int_ -1) ^ 1u ^ 2du = 1/2 [1/3u ^ 3] _ (- 1) ^ 1 = 1/6 [1 - (-1)] = 1/3

Hvordan vurderer du det konkrete integral int sec ^ 2x / (1 + tan ^ 2x) fra [0, pi / 4]?

Pi / 4 Bemærk, at fra den anden pythagoranske identitet, at 1 + tan ^ 2x = sec ^ 2x Dette betyder, at brøkdelen er lig med 1, og det efterlader os det ret simple integral af int_0 ^ (pi / 4) dx = x | _0 ^ (pi / 4) = pi / 4