Summen af kvadratet af tre heltal er 324. Hvordan finder du heltalene?

Svar:

Den eneste løsning med særskilte positive heltal er #(2, 8, 16)#

Det fulde sæt af løsninger er:

#{ (0, 0, +-18), (+-2, +-8, +-16), (+-8, +-8, +-14), (+-6, +-12, +-12) }#

Forklaring:

Vi kan spare os selv en indsats ved at overveje, hvilken form kvadrater tager.

Hvis # N # er et ulige heltal da #n = 2k + 1 # for et helt tal # K # og:

# n ^ 2 = (2k + 1) ^ 2 = 4 (k ^ 2 + k) + 1 #

Bemærk, at dette er et ulige heltal af formularen # 4p + 1 #.

Så hvis du tilføjer firkanterne af to ulige heltal, så vil du altid få et helt tal af formularen # 4k + 2 # for et helt tal # K #.

Noter det #324 = 4*81# er af formen # 4k #, ikke # 4k + 2 #.

Derfor kan vi udlede, at de tre heltal skal være ens.

Der er et begrænset antal løsninger i heltal siden # n ^ 2> = 0 # for et helt tal # N #.

Overvej løsninger i ikke-negative heltal. Vi kan tilføje varianter med negative heltal i slutningen.

Antag det største heltal er # N #, derefter:

# 324/3 = 108 <= n ^ 2 <= 324 = 18 ^ 2 #

Så:

# 12 <= n <= 18 #

Det resulterer i mulige summer af kvadrater af de to andre heltal:

#324 - 18^2 = 0#

#324 - 16^2 = 68#

#324 - 14^2 = 128#

#324 - 12^2 = 180#

For hver af disse værdier # K #, antag det største resterende heltal er # M #. Derefter:

# k / 2 <= m ^ 2 <= k #

og vi har brug for # K-mA2 # at være et perfekt firkant.

Derfor finder vi løsninger:

#(0, 0, 18)#

#(2, 8, 16)#

#(8, 8, 14)#

#(6, 12, 12)#

Så den eneste løsning med tydelige positive heltal er #(2, 8, 16)#

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 2 ^ 2 3 ^ 4 = w ^ 2 #

Det er let at vise det # x, y # og # Z # skal være lige fordi at gøre # x = 2m_x + 1, y = 2m_y + 1 # og # Z = 2m_z # vi har

# 4m_x ^ 2 + 4m_x + 4m_y ^ 2 + 4m_y + 4m_z ^ 2 + 2 = 4xx 3 ^ 4 # eller

# 2m_x ^ 2 + 2m_x + 2m_y ^ 2 + 2m_y + 2m_z ^ 2 + 1 = 2 xx 3 ^ 4 # hvilket er absurd.

Så vi vil overveje fra nu af

# m_x ^ 2 + m_y ^ 2 + m_z ^ 2 = 3 ^ 4 #

Nu overvejer identiteten

# ((L ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / n) ^ 2 + (2l) ^ 2 + (2m) ^ 2 = ((l ^ 2 + mA2 + n ^ 2) / n) ^ 2 #

med # L, m, n # vilkårlig positivt heltal og fremstilling

(m_y = 2l), (m_z = 2m), (m_w = (1 ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n):} # ------ 1

vi har

# 1 ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2 = 3 ^ 2 n # eller løse for # N #

# n = 1/2 (9 pm sqrt (9 ^ 2-4 (1 ^ 2 + m ^ 2)))

så for gennemførlighed vi har brug for

# 9 ^ 2-4 (l ^ 2 + mA2) = p ^ 2 # eller

# 9 ^ 2-p ^ 2 = 4 (1 ^ 2 + m ^ 2) = q #

så for # P = {1,2,3,4,5,6,7,8} # vi vil have

#q = {80,77,72,65,56,45,32,17} # så det er muligt # Q # er

#q_f = {80,72,56,32} # fordi #q ækvivalent 0 mod 4 #

så vi skal finde

# 4 (l_i ^ 2 + m_i ^ 2) = q_i # eller

# l_i ^ 2 + m_i ^ 2 = 1/4 q_i = bar q_i = {20,18,14,8} #

Her som vi let kan verificere, er den eneste løsning for

# L_1 = 2, M_1 = 4 # fordi

# l_1 ^ 2 + m_1 ^ 2 = bar q_1 #

og dermed # n_1 = {4,5} #

og erstatte 1 vi får

# n_1 = 4 rArr {(m_x = 1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

# n_1 = 5 rArr {(m_x = -1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

giver løsningen

# {(x = 2m_x = 2), (y = 2m_y = 8), (z = 2m_z = 16):}