Hvordan beregnes dette? int_0 ^ 1 log (1-x) / xdx + eksempel

Svar:

Se nedenunder.

Forklaring:

Desværre integrerer funktionen i integralet ikke noget, der ikke kan udtrykkes i forhold til elementære funktioner. Du skal bruge numeriske metoder til at gøre dette.

Jeg kan vise dig, hvordan du bruger en serieudvidelse for at få en omtrentlig værdi.

Begynd med den geometriske serie:

# 1 / (1-r) = 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + r ^ 4 … = sum_ (n = 0) ^ oor ^ n # til # Rlt1 #

Integrer nu med hensyn til # R # og ved hjælp af grænserne #0# og #x# for at få dette:

# int_0 ^ x1 / (1-r) dr = int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr #

Integration af venstre side:

# Int_0 ^ x1 / (1-r) dr = - ln (1-r) _ 0 ^ x = -ln (1-x) #

Integrer nu højre side ved at integrere term efter periode:

# int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr = r + r ^ 2/2 + r ^ 3/3 + r ^ 4/4 … _ 0 ^ x #

# = X + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + … #

Så følger det således:

# -ln (1-x) = x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + … #

#impliesln (1-x) = -x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + … #

Del nu med #x#:

#ln (1-x) / x = (- x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + …) / x #

# = - 1-x / 2-x ^ 2/3-x ^ 3/4 for -… #

Så vi har nu power-seriens udtryk for den funktion, vi oprindeligt startede med. Endelig kan vi integrere igen for at få:

# Int_0 ^ 1LN (1-x) / x = int_0 ^ 1-1-x / 2-x ^ 2/3-x ^ 3/4 for -… dx #

Integrering af højre hånds term efter side giver os:

# Int_0 ^ 1LN (1-x) / x = - x-x ^ 2/4-x ^ 3/9-x ^ 4/16 -… _ 0 ^ 1 #

Evaluering af grænserne til fire vilkår giver os en omtrentlig værdi:

# Int_0 ^ 1LN (1-x) / x ~~ {-1-1 ^ 2 / 4-1 ^ 3 / 9-1 ^ 4/16} - {0} #

#=-(1+1/4+1/6+1/16+…)=-205/144~~-1.42361#

Nu er det kun fire udtryk. Hvis du vil have et mere præcist nummer, skal du blot bruge flere vilkår i serien. For eksempel går den 100. term:

# Int_0 ^ 1LN (1-x) /x

Som en side, hvis du arbejder gennem nøjagtig samme proces, men brug summation notation (dvs. med big sigma i stedet for at skrive ud af vilkårene i serien) vil du opdage, at:

# Int_0 ^ 1LN (1-x) / xdx = -sum_ (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2 #

som kun er Riemann-Zeta-funktionen på 2, dvs.:

# Int_0 ^ 1LN (1-x) / xdx = -sum_ (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2 = -zeta (2) #

Vi ved faktisk allerede, at værdien af dette er: #zeta (2) = pi ^ 2/6 #.

Derfor kan den nøjagtige værdi af integralet udledes til at være:

# Int_0 ^ 1LN (1-x) / xdx = -pi ^ 2/6 #