Ligningen x ^ 5-3x ^ 3 + x ^ 2-4 = 0 har en positiv rod. Bekræft ved beregning at denne rod ligger mellem 1 og 2.Kan nogen venligst løse dette spørgsmål?

EN rod af en ligning er en værdi for variablen (i dette tilfælde #x#), som gør ligningen sande. Med andre ord, hvis vi skulle løse for #x#, så ville den solgte værdi (r) være rødderne.

Normalt når vi taler om rødder, er det med en funktion af #x#, synes godt om # Y = x ^ 5-3x ^ 3 + x ^ 2-4 #, og at finde rødderne betyder at løse for #x# hvornår # Y # er 0.

Hvis denne funktion har en rod mellem 1 og 2, så ved nogle #x#-value mellem # X = 1 # og # X = 2 #, svarer ligningen til 0. Hvilket betyder også, at ligningen på et tidspunkt på den ene side af denne rod er positiv, og på et tidspunkt på den anden side er det negativt.

Da vi forsøger at vise, at der er en rod mellem 1 og 2, hvis vi kan vise, at ligningen skifter mellem disse to værdier, bliver vi færdige.

Hvad er # Y # hvornår # X = 1 #?

# Y = x ^ 5-3x ^ 3 + x ^ 2-4 #

#COLOR (hvid) y = (1) ^ 5-3 (1) ^ 3 + (1) ^ 2-4 #

#COLOR (hvid) y = 1-3 + 1-4 #

#COLOR (hvid) y = -5 #

#COLOR (hvid) y <0 #

Nu, hvad er det # Y # hvornår # X = 2 #?

# Y = x ^ 5-3x ^ 3 + x ^ 2-4 #

#COLOR (hvid) y = (2) ^ 5-3 (2) ^ 3 + (2) ^ 2-4 #

#COLOR (hvid) y = 32-3 (8) + 4-4 #

#COLOR (hvid) y = 32-24 #

#COLOR (hvid) y = 8 #

#COLOR (hvid) y> 0 #

Vi har vist det # Y # er negativ, når # X = 1 #, og # Y # er positiv, når # X = 2 #. Så på et tidspunkt mellem 1 og 2 der skal en værdi for #x# hvilket gør # Y # lig med 0.

Vi har lige brugt Intermediate Value Theorem eller (IVT). Hvis du ikke er sikker på hvad det er, er en hurtig beskrivelse det, hvis en kontinuerlig funktion er mindre end # C # hvornår # x = en # og er større end # C # hvornår # X = b #, så på et tidspunkt mellem #en# og # B #, skal funktionen være ens # C. #

Bemærk:

IVT er kun gældende for kontinuerlige funktioner (eller funktioner, der er kontinuerlige i intervallet af interesse). Heldigvis er alle polynomer i #x# er kontinuerlige overalt, så derfor kan vi bruge IVT her.