Lad os starte med funktionen uden # M #:
# x ^ 3-2x ^ 2 + 2x = x (x ^ 2-2x + 2) #
Denne funktion har sikkert # X = 0 # som rod, siden vi regnede med #x#.
De andre rødder er løsninger af # X ^ 2-2x + 2 = 0 #, men denne parabol har ingen rødder. Dette betyder, at det oprindelige polynomiale kun har én rod.
Nu et polynom #p (x) # af ulige grad har altid mindst en løsning, fordi du har
#lim_ {x til- infty} p (x) = - infty # og #lim_ {x til infty} p (x) = infty #
og #p (x) # er kontinuerlig, så det skal krydse #x# akse på et tidspunkt.
Svaret kommer fra følgende to resultater:
- Et polynom af grad # N # har nøjagtigt # N # komplekse rødder, men højst # N # rigtige rødder
- Givet grafen af #F (x) #, grafen for #F (x) + k # har samme form, men det er vertikalt oversat (opad hvis #K> 0 #, nedad ellers).
Så starter vi fra # X ^ 3-2x ^ 2 + 2x #, som kun har en reel rødder (og dermed to komplekse rødder) og vi omdanner den til # X ^ 3-2x ^ 2 + 2x + m #, hvilket betyder at vi oversætter det op eller ned, så vi ændrer ikke antallet af løsninger.
Nogle eksempler:
Oprindelig funktion: # Y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x #
graf {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x -3 3 -4 4}
Oversæt op: # Y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 #
graf {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 -3 3 -4 4}
Oversæt ned: # Y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 #
graf {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 -3 3 -4 4}
Som du kan se, er der altid en rod
Svar:
Se nedenunder
Forklaring:
En alternativ, måske mere elegant løsning:
derivatet af dit polynom er # 3x ^ 2-4x + 2 #, som er en parabola konkave uden rødder og dermed altid positiv. Så, # F # er:
- Monotonisk stigende
- #lim_ {x til pm infty} f (x) = pm infty #
- # "°" (f) = 3 #
De to første punkter viser det # F # har nøjagtig en rod, og den tredje, at de to andre rødder er komplekse.
