Hvad er grænsen som t nærmer 0 af (tan6t) / (sin2t)?

#lim_ (t> 0) tan (6t) / sin (2t) = 3 #. Vi bestemmer dette ved at benytte L'hospital's Rule.

For at omskrive, siger L'Hospital's regel, at når der gives en grænse for formularen #lim_ (t a) f (t) / g (t) #, hvor #F (a) # og #g (a) # er værdier, der giver grænsen ubestemt (oftest, hvis begge er 0 eller en form for), så så længe begge funktioner er kontinuerlige og differentierbare i og i nærheden af #en,# man kan nævne det

#lim_ (t a) f (t) / g (t) = lim_ (t a) (f '(t)) / (g' (t)) #

Eller i ord, grænsen for kvoten af to funktioner er lig med grænsen for kvotienten af deres derivater.

I det viste eksempel har vi #f (t) = tan (6t) # og #g (t) = sin (2t) #. Disse funktioner er kontinuerlige og differentierbare i nærheden # t = 0, tan (0) = 0 og sin (0) = 0 #. Således er vores første #F (a) / g (a) = 0/0 =?. #

Derfor bør vi gøre brug af L'Hospital's Rule. # d / dt tan (6t) = 6 sek ^ 2 (6t), d / dt sin (2t) = 2 cos (2t). Dermed…

(6t) / sin (2t) = lim_ (t> 0) (6 sek ^ 2 (6t)) / (2 cos (2t)) = (6 sek ^ 2)) / (2 cos (0)) = 6 / (2 * cos ^ 2 (0) * cos (0)) = 6 / (2 * 1 * 1) = 6/2 = 3 #

Svar:

Reqd. Lim.#=3#.

Forklaring:

Vi finder dette Begrænse ved hjælp af følgende Standardresultater:

#lim_ (thetararr0) sintheta / theta = 1, lim_ (thetararr0) tantheta / theta = 1 #

Vær opmærksom på det, #tan (6t) / sin (2t) = frac (tan (6t) / (6t)) (sin (2t) / (2t)) ##frac (6t) (2t) = 3frac (tan (6t) / (6t)) (sin (2t) / (2t)) #

Her, # trarr0rArr (6t) rarr0rArr lim_ (trarr0) tan (6t) / (6t) = 1 #

Tilsvarende #lim_ (trarr0) sin (2t) / (2t) = 1 #

Derfor er Reqd. Lim.#=3{1/1}=3#.