Hvad er de asymptoter og aftagelige diskontinuiteter, hvis nogen, af f (x) = (x ^ 3-x + 2) / ((x-x ^ 2) (1-x ^ 2))?

Svar:

Der er ingen.

Forklaring:

Aftagelige diskontinuiteter eksisterer, når funktionen ikke kan bedømmes på et bestemt tidspunkt, men venstre og højre håndgrænser svarer til hinanden på det pågældende tidspunkt. Et sådant eksempel er funktionen x / x. Denne funktion er klart 1 (næsten) overalt, men vi kan ikke evaluere den ved 0 fordi 0/0 er udefineret. Venstre og højre grænser ved 0 er begge 1, så vi kan "fjerne" diskontinuiteten og give funktionen en værdi på 1 ved x = 0.

Når din funktion er defineret af en polynomial fraktion, er fjernelse af diskontinuiteter synonym med aflysningsfaktorer. Hvis du har tid og du ved, hvordan man differentierer polynomier, opfordrer jeg dig til at bevise dette for dig selv.

Factoring dit polynom er vanskelig. Der er dog en nem måde at kontrollere, hvor diskontinuiteterne er. Find først alle x sådan, at nævneren er 0. For at gøre dette kan du faktorisere nævneren som følger:

# (x-x ^ 2) (1-x ^ 2) = x (1-x) (1-x) (1 + x)

Den første term, jeg faktureres ved at trække en fælles faktor x ud. Det andet udtryk er forskellen mellem kvadrater, # a ^ 2-b ^ 2 = (a-b) (a + b) #.

Her kan vi se nullerne i nævneren er x = 0, x = 1 og x = -1.

Uden factoring tælleren kan vi tjekke om nullerne findes i tællerpolynomet. Hvis de gør det, bliver vi nødt til at gøre nogle factoring. Hvis de ikke gør det, kan vi være sikre på, at der ikke er nogen faktorer, der ville annullere alligevel.

#(0)^3-(0)+2 = 2#

#(1)^3-(1)+2 = 2#

#(-1)^3-(-1)+2 = 2#

I alle tre tilfælde fik vi 2, hvilket ikke er 0. Således kan vi konkludere, at ingen af nullerne i nævneren matcher 0 i tælleren, så ingen af diskontinuiteterne kan fjernes.

Du kan også tjekke dette selv i din valgte grafik software. Du finder funktionen afvigende ved x = -1, 0 og 1. Hvis diskontinuiteterne var aftagelige, skal den se relativt fladt ud i regionen omkring diskontinuiteten i stedet for at divergere.