Hvad er standardformen for ligningens ligning med en directrix ved x = 103 og et fokus på (108,41)?

Svar:

# X = 1/10 (x-41) ^ 2 + 211/2 #

Forklaring:

En parabola er et punkts punkt, som bevæger sig således, at afstanden fra en given linje kaldet directrix og et givet punkt kaldet fokus er altid ens.

Nu afstanden mellem to pints # (X_1, y_1) # og # (X_2, y_2) # er givet af #sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) # og afstanden til et punkt # (X_1, y_1) # fra en linje # Ax + by + c = 0 # er # | (Ax_1 + by_1 + c) / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) | #

Kommer til parabola med directrix # X = 103 # eller # x-103 = 0 # og fokus #(108,41)#, lad punktet ligeså langt fra begge være # (X, y) #. Afstanden af # (X, y) # fra # x-103 = 0 # er

# | (X-103) / sqrt (1 ^ 2 + 0 ^ 2) | = | (x-103) / 1 | = | x-103 | #

og dens afstand fra #(108,41)# er

#sqrt ((108-x) ^ 2 + (41-y) ^ 2) #

og som de to er ens, ville ligning af parabola være

# (108-x) ^ 2 + (41-y) ^ 2 = (x-103) ^ 2 #

eller # 108 ^ 2 + x ^ 2-216x + 41 ^ 2 + y ^ 2-82y = x ^ 2 + 103 ^ 2-206x #

eller # 11664 x ^ 2-216x + 1681 + y ^ 2-82y = x ^ 2 + 10609-206x #

eller # Y ^ 2-82y-10x + 2736 = 0 #

eller # 10x = y ^ 2-82y + 2736 #

eller # 10x = (y-41) ^ 2 + 1055 #

eller i vertex form # X = 1/10 (x-41) ^ 2 + 211/2 #

og vertex er #(105 1/2,41)#

Dens graf vises som vist herunder sammen med fokus og directrix.

graf ((y ^ 2-82y-10x + 2736) ((108-x) ^ 2 + (41-y) ^ 2-0,6) (x-103) = 0 51,6, 210,4, -13,3, 66,1}