Hvad er projektionen af (4 i + 4 j + 2 k) på (i + j -7k)?

Svar:

Vektorprojektionen er #< -2/17,-2/17,14/17 >#, den skalære fremspring er # (- 2sqrt (51)) / 17 #. Se nedenunder.

Forklaring:

Givet # VECA = (4i + 4j + 2k) # og # vecb = (i + j-7k) #, kan vi finde #proj_ (vecb) VECA #, det vektor fremskrivning af # VECA # på # Vecb # ved hjælp af følgende formel:

#proj_ (vecb) VECA = ((VECA * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

Det er dotproduktet af de to vektorer divideret med størrelsen af # Vecb #, ganget med # Vecb # divideret med dens størrelse. Den anden mængde er en vektormængde, da vi deler en vektor af en skalær. Bemærk at vi deler # Vecb # af dens størrelse for at opnå en enhedsvektor (vektor med størrelsen af #1#).Du kan bemærke, at den første mængde er skalar, da vi ved, at når vi tager prikken på to vektorer, er den resulterende en skalær.

Derfor er skalar fremskrivning af #en# på # B # er #comp_ (vecb) VECA = (a * b) / (| b |) #, også skrevet # | Proj_ (vecb) VECA | #.

Vi kan begynde med at tage prikken med de to vektorer, som kan skrives som # veca = <4,4,2> # og # vecb = <1,1, -7> #.

# veca * vecb = <4,4,2> * <1,1, -7> #

#=> (4*1)+(4*1)+(2*-7)#

#=>4+4-14=-6#

Så kan vi finde størrelsen af # Vecb # ved at tage kvadratroden af summen af kvadraterne af hver af komponenterne.

# | Vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | Vecb | = sqrt ((1) ^ 2 + (1) ^ 2 + (- 7) ^ 2) #

# => Sqrt (1 + 1 + 49) = sqrt (51) #

Og nu har vi alt, hvad vi har brug for for at finde vektorprojektionen af # VECA # på # Vecb #.

#proj_ (vecb) veca = (- 6) / sqrt (51) * (<1,1, -7>) / sqrt (51) #

#=>(-6 < 1,1,-7 >)/51#

#=>-2/17< 1,1,-7 >#

Du kan distribuere koefficienten til hver komponent af vektoren og skrive som:

#=>< -2/17,-2/17,+14/17 >#

Den skalære fremspring af # VECA # på # Vecb # er kun den første halvdel af formlen, hvor #comp_ (vecb) VECA = (a * b) / (| b |) #. Derfor er den skalære fremspring # -6 / sqrt (51) #, som ikke forenkler yderligere, udover at rationalisere nævneren, hvis det ønskes, at give # (- 6sqrt (51)) / 51 => (-2sqrt (51)) / 17 #

Håber det hjælper!