Hvad er betydningen af partielt derivat? Giv et eksempel og hjælp mig til at forstå kortfattet.

Svar:

Se nedenunder.

Forklaring:

Jeg håber det hjælper.

Det partielle derivat er iboende forbundet med den samlede variation.

Antag, at vi har en funktion #F (x, y) # og vi vil gerne vide, hvor meget det varierer, når vi introducerer en stigning til hver variabel.

Fastsættelse af ideer, fremstilling #f (x, y) = k x y # vi vil vide, hvor meget det er

#df (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) #

I vores funktion-eksempel har vi

= k (x + dx) (y + dy) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy #

og så

#df (x, y) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy-k x y = k x dx + k y dy + k dx dy #

vælge #dx, dy # vilkårligt lille da #dx dy ca 0 # og så

#df (x, y) = k x dx + k y dy #

men generelt

#df (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) = 1/2 (2f (x + dx, y + dy) -2f (x, y) + f (x + dx, y) -f (x + dx, y) + f (x, y + dy) -f (x, y + dy)) =

# = 1/2 (f (x + dx, y) -f (x, y)) / dx dx +1/2 (f (x, y + dy) -f (x, y)) / dy dy +

# + 1/2 (f (x + dx, y + dy) -f (x, y + dy)) / dx dx + 1/2 (f (x + dx, y + dy), y)) / dy dy #

nu gør #dx, dy # vilkårligt lille, vi har

#df (x, y) = 1/2 (2f_x (x, y) dx + 2f_y (x, y) dy) = f_x (x, y) dx + f_y (x, y) dy #

så vi kan beregne den samlede variation for en given funktion ved at beregne de partielle derivater #f_ (x_1), f_ (x_2), cdots, f_ (x_n) # og sammensætning

#df (x_1, x_2, cdots, x_n) = f_ (x_1) dx_1 + cdots + f_ (x_n) dx_n #

Her er mængderne #f_ (x_i) # kaldes partielle derivater og kan også være repræsenteret som

# (delvis f) / (delvis x_i) #

I vores eksempel

#f_x = (delvis f) / (delvis x) = k x # og

#f_y = (partial f) / (partial y) = k y #

BEMÆRK

#f_x (x, y) = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y) -f (x, y)) / dx = lim _ 0), (dyna-> 0)) (f (x + dx, y + dy) -f (x, y)) / dx #

(fx, y + dy) -f (x, y)) / dy = lim _ ((dx-> 0) 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y + dy) -f (x, y)) / dy #

Svar:

Se nedenunder.

Forklaring:

For at supplere Cesareos svar ovenfor vil jeg give en mindre matematisk streng indledende definition.

Den partielle afledte, løst talende, fortæller os, hvor meget en multi-variabel funktion vil ændre sig når andre variabler holdes konstante. Antag for eksempel, at vi får det

#U (A, t) = A ^ 2t #

Hvor # U # er funktionen (lykke) funktion af et bestemt produkt, #EN# er mængden af produkt, og # T # er den tid, produktet bruges til.

Antag, at det firma, der fremstiller produktet, gerne vil vide, hvor meget mere de kan få ud af det, hvis de øger produktets levetid med 1 enhed. Det partielle derivat vil fortælle virksomheden denne værdi.

Det partielle derivat er generelt betegnet med den små bogstaver græsk brev delta (#delvis#), men der er andre notationer. Vi vil bruge #delvis# for nu.

Hvis vi forsøger at finde ud af, hvor meget anvendelsesmulighederne for produktet ændres med en 1 enheds forøgelse, beregner vi det partielle derivat af nytteværdi med tiden:

# (PartialU) / (partialt) #

For at beregne PD, vi holder andre variable konstant. I dette tilfælde behandler vi # A ^ 2 #, den anden variabel, som om det var et tal. Husk fra indledende beregning, at derivatet af en konstant tid en variabel er bare konstanten. Det er den samme idé her: den (delvise) derivat af # A ^ 2 #, en konstant, gange # T #, variablen er bare konstant:

# (PartialU) / (partialt) = A ^ 2 #

Således øges en 1 enheds stigning i den tid, produktet bruges # A ^ 2 # mere nytteværdi. Med andre ord bliver produktet mere tilfredsstillende, hvis det er i stand til at blive brugt oftere.

Der er meget mere at sige om partielle derivater - i virkeligheden kan hele bachelor- og kandidatkurserne afsættes til at løse kun nogle få typer af ligninger, der involverer partielle derivater - men den grundlæggende ide er, at den partielle afledte fortæller os, hvor meget en Variabel ændring, når de andre forbliver de samme.