Hvordan finder du derivatet af y = Arcsin ((3x) / 4)?

Svar:

# dy / dx = 3 / (sqrt (16 - (9x ^ 2)))

Forklaring:

Du skal bruge kædelegemet. Husk at formlen for dette er:

#f (g (x)) '= f' (g (x)) * g '(x) #

Ideen er, at du tager derivatet af den yderste funktion først, og så arbejder du bare indenfor.

Før vi begynder, lad os identificere alle vores funktioner i dette udtryk. Vi har:

• #arcsin (x) #

• # (3x) / 4 #

#arcsin (x) # er den yderste funktion, så vi starter med at tage derivatet af det. Så:

# dy / dx = farve (blå) (d / dx arcsin (3x / 4) = 1 / (sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2)))

Bemærk, hvordan vi stadig bevarer det # ((3x) / 4) # derinde. Husk, at når du bruger kædereglen, skelner du udenfor, men du stadig bevare de indre funktioner når de differentierer de ydre.

# (3x) / 4 # er vores næste yderste funktion, så vi skal også mærke derivatet af det. Så:

#color (grå) (dy / dx = d / dx arcsin (3x / 4) = 1 / (sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2))) * Farve (blå) (d / dx ((3x) / 4)) #

# => dy / dx = 1 / (sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2)) * (3/4) #

Og det er slutningen af beregningsdelen til dette problem! Alt der er tilbage er at gøre en vis forenkling for at rydde op på dette udtryk, og vi ender med:

# => dy / dx = 3 / (sqrt (16 - (9x ^ 2)))

Hvis du vil have yderligere hjælp til kædelegemet, vil jeg opfordre dig til at kigge på nogle af mine videoer om emnet:

Håber det hjalp:)

Svar:

Givet: #farve (blå) (y = f (x) = sin ^ (- 1) ((3x) / 4) #

#color (grøn) (d / (dx) sin ^ (- 1) ((3x) / 4) = 3 / sqrt (16-9x ^ 2) #

Forklaring:

Givet:

#farve (blå) (y = f (x) = sin ^ (- 1) ((3x) / 4) #

Funktionskomposition bruger en funktion til resultatet af en anden:

Vær opmærksom på at argument af den trigonometriske funktion #sin ^ (- 1) ("") # er også en funktion.

Det Kæderegel er en regel for differentiering sammensætninger af funktioner som den vi har.

Kæderegel:

#color (rød) (dy / (dx) = (dy / (du)) * ((du) / (dx)) "" # (eller)

#color (blå) (d / (dx) f {g (x)} = f 'g (x) * g' x #

Vi er givet

#farve (blå) (y = f (x) = sin ^ (- 1) ((3x) / 4) #

Lade, #f (x) = sin ^ (- 1) (u) "" og "" u = (3x) / 4 #

#COLOR (grøn) (Step.1 #

Vi vil differentiere

#f (x) = sin ^ (- 1) (u) "" # Function.1

bruger fælles derivat resultat:

#color (brun) (d / (dx) sin ^ (- 1) (x) = 1 / sqrt (1-x ^ 2 #

Ved hjælp af ovenstående resultat kan vi differentiere Function.1 ovenfor som

# d / (du) sin ^ (- 1) (u) = 1 / sqrt (1-u ^ 2) "" # Result.1

#COLOR (grøn) (Step.2 #

I dette trin vil vi differentiere indvendige funktion # (3x) / 4 #

# D / (dx) ((3x) / 4) #

Træk konstanten ud

#rArr 3/4 * d / (dx) (x) #

#rArr 3/4 * 1 #

#rArr 3/4 #

#:. d / (dx) ((3x) / 4) = 3/4 "" #Result.2

#COLOR (grøn) (Step.3 #

Vi vil bruge de to mellemresultater, Result.1 og Result.2 at fortsætte.

Vi vil begynde med, #color (grøn) (d / (dx) sin ^ (- 1) ((3x) / 4) = 1 / sqrt (1-u ^ 2) * (3/4) #

Stedfortræder tilbage #COLOR (brun) (u = ((3x) / 4) #

Derefter, #color (grøn) (d / (dx) sin ^ (- 1) (3x) / 4) = 1 / sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2) * (3/4) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt (1 - ((9x ^ 2/16)) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt ((16-9x ^ 2) / 16) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt ((16-9x ^ 2) / (4 ^ 2)) #

#rArr (3/4) * 1 / (sqrt ((16-9x ^ 2)) / (sqrt ((4 ^ 2))) #

#rArr (3/4) * 1 / (sqrt ((16-9x ^ 2))) * 4 #

#rArr (3 / annuller 4) * 1 / (sqrt ((16-9x ^ 2))) * Afbryd 4 #

#rArr 3 / (sqrt ((16-9x ^ 2))) #

Derfor kan vores endelige svar skrives som

#color (grøn) (d / (dx) sin ^ (- 1) ((3x) / 4) = 3 / sqrt (16-9x ^ 2) #