Hvad er en ortogonal matrix? + Eksempel

Svar:

Væsentligt et ortogonalt # n xx n # matrix repræsenterer en kombination af rotation og mulig refleksion om oprindelsen i # N # dimensionelle rum.

Det bevarer afstande mellem punkter.

Forklaring:

En ortogonal matrix er en, hvis inverse er lig med dens transponering.

En typisk # 2 xx 2 # ortogonale matrix ville være:

#R_theta = ((cos theta, sin theta), (-sin theta, cos theta)) #

for nogle #theta i RR #

Rækkerne af en ortogonal matrix danner et ortogonalt sæt enhedsvektorer. For eksempel, # (cos theta, sin theta) # og # (- sin theta, cos theta) # er ortogonale for hinanden og af længde #1#. Hvis vi kalder den tidligere vektor # VECA # og sidstnævnte vektor # VecB #, derefter:

#vecA cdot vecB = -sinthetacostheta + sinthetacostheta = 0 #

(derfor ortogonale)

# || Veca || = sqrt (cos ^ 2theta + sin ^ 2theta) = 1 #

# || vecB || = sqrt ((- sintheta) ^ 2 + cos ^ 2theta) = 1 #

(følgelig enhedsvektorer)

Kolonnerne danner også et ortogonalt sæt enhedsvektorer.

Bestemmelsen af en ortogonal matrix vil altid være #+-1#. Hvis det er #+1# så kaldes matrixen a speciel ortogonal matrix.