Hvad er spændingen i en matrix? + Eksempel

Svar:

Se nedenunder

Forklaring:

Et sæt vektorer spænder over et mellemrum, hvis hver anden vektor i rummet kan skrives som en lineær kombination af spændingssættet. Men for at komme til meningen med dette skal vi se på matrixen som lavet af kolonnevektorer.

Her er et eksempel i #mathcal R ^ 2 #:

Lad vores matrix #M = ((1,2), (3,5)) #

Dette har kolonnevektorer: #((1),(3))# og #((2),(5))#, som er lineært uafhængige, så matrixen er ikke-ental dvs. inverterbar osv. osv.

Lad os sige, at vi vil vise det generelle punkt # (X, y) # er inden for spændvidden af disse 2 vektorer, dvs. således at matrixen spænder over alle #mathcal R ^ 2 #, så ser vi ud til at løse dette:

#alpha ((1), (3)) + beta ((2), (5)) = ((x), (y)) #

Eller:

# ((1,2), (3,5)) ((alpha), (beta)) = ((x), (y)) #

Du kan løse dette er et vilkårligt antal måder, fx række reducere eller invertere M ….. for at få:

#alpha = - 5x + 2y, beta = 3x - y #

Så lad os sige, at vi vil kontrollere det #(2,3)# er i spændingen af denne matrix, M, finder vi det resultat, vi lige har fået:

#alpha = -4 #

#beta = 3 #

Dobbeltjek:

#-4 ((1),(3)) + 3 ((2),(5)) = ((2),(3))# !!

Overvej næste en anden matrix: #M '= ((1,2), (2,4)) #. Dette er ental fordi dets søjlevektorer, #((1),(2))# og #((2),(4))#, er lineært afhængige. Denne matrix spænder kun langs retning #((1),(2))#.