Spørgsmål # e8ab5

Svar:

#cos (x + y) = (a ^ 2 + b ^ 2) / 2-1 #

Forklaring:

Husk først hvad #cos (x + y) # er:

#cos (x + y) = cosxcosy + sinxsiny #

Noter det:

# (Sinx + siny) ^ 2 = a ^ 2 #

# -> synd ^ 2x + 2sinxsiny + sin ^ 2y = a ^ 2 #

Og:

# (Cosx + hyggelig) ^ 2 = b ^ 2 #

# -> cos ^ 2x + 2cosxcosy + cos ^ 2y = b ^ 2 #

Nu har vi disse to ligninger:

# Synd ^ 2x + 2sinxsiny + sin ^ 2y = a ^ 2 #

# cos ^ 2x + 2cosxcosy + cos ^ 2y = b ^ 2 #

Hvis vi tilføjer dem sammen, har vi:

# Sin ^ 2x + 2sinxsiny + sin ^ 2y + cos ^ 2x + 2cosxcosy + cos ^ 2y = a ^ 2 + b ^ 2 #

Lad ikke størrelsen af denne ligning kaste dig af. Kig efter identiteter og forenklinger:

# (Sin ^ 2x + cos ^ 2x) + (2sinxsiny + 2cosxcosy) + (cos ^ 2y + sin ^ 2y) = a ^ 2 + b ^ 2 #

Siden # Synd ^ 2x + cos ^ 2x = 1 # (Pythagorean Identity) og # Cos ^ 2y + sin ^ 2y = 1 # (Pythagorean Identity), kan vi forenkle ligningen til:

# 1 + (2sinxsiny + 2cosxcosy) + 1 = a ^ 2 + b ^ 2 #

# -> (2sinxsiny + 2cosxcosy) + 2 = a ^ 2 + b ^ 2 #

Vi kan fakturere en #2# to gange:

# 2 (sinxsiny + cosxcosy) + 2 = a ^ 2 + b ^ 2 #

# -> 2 ((sinxsiny + cosxcosy) +1) = a ^ 2 + b ^ 2 #

Og opdele:

# (Sinxsiny + cosxcosy) + 1 = (a ^ 2 + b ^ 2) / 2 #

Og fratrække:

# Sinxsiny + cosxcosy = (a ^ 2 + b ^ 2) / 2-1 #

Endelig siden #cos (x + y) = cosxcosy + sinxsiny #, vi har:

#cos (x + y) = (a ^ 2 + b ^ 2) / 2-1 #

Givet

# Sinx + siny = a ……. (1) #

# Cosx + hyggelig = b ……. (2) #

Kvadratering og tilføjelse (1) & (2)

# (cosx + hyggeligt) ^ 2 + (sinx + sinus) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 #

# => 2 (cosxcosy + sinxsiny) + 2 = a ^ 2 + b ^ 2 #

# => 2cos (x-y) = a ^ 2 + b ^ 2-2 …. (3) #

Kvadrering og subtraktion (1) fra (2)

# (cosx + hyggeligt) ^ 2- (sinx + siny) ^ 2 = b ^ 2-a ^ 2 #

# => 2cos (x + y) + cos ^ 2x-sin ^ 2x + cos ^ 2y-sin ^ 2y = b ^ 2-a ^ 2 #

# => 2cos (x + y) + cos2x + cos2y = b ^ 2-a ^ 2 #

# => 2cos (x + y) + 2cos (x + y) cos (x-y) = b ^ 2-a ^ 2 #

# => Cos (x + y) (2 + 2cos (x-y)) = b ^ 2-a ^ 2 #

(# "Fra (3)" 2cos (x-y) = a ^ 2 + b ^ 2-2 #)

# => Cos (x + y) (2 + b ^ 2 + a ^ 2-2) = b ^ 2-a ^ 2 #

# => Cos (x + y) (b ^ 2 + a ^ 2) = b ^ 2-a ^ 2 #

# => Cos (x + y) = (b ^ 2-a ^ 2) / (b ^ 2 + a ^ 2) #

Svar:

#cos (x + y) = (b ^ 2-a ^ 2) / (b ^ 2 + a ^ 2) #.

Forklaring:

# sinx + siny = a rArr 2sin ((x + y) / 2) cos ((x-y) / 2) = a ……… (1) #.

# cosx + cosy = b rArr 2cos ((x + y) / 2) cos ((x-y) / 2) = b ………. (2) #.

Opdeling #(1)# ved #(2)#, vi har, #tan ((x + y) / 2) = a / b #.

Nu, #cos (x + y) = {1-tan ^ 2 ((x + y) / 2)} / {1 + tan ^ 2 ((x + y) / 2)} #

# = (1-a ^ 2 / b ^ 2) / (1 + a ^ 2 / b ^ 2) = (b ^ 2-a ^ 2) / (b ^ 2 + a ^ 2) #.

Nyd matematik.!